מבחן לדוגמה: משוואות מעריכיות בניסוי וטעייה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את מספר האיברים בסדרה ואת האיבר הראשון.

מצאו את $n$ שעבורו $S_n$ גדול ב-$62$ מהאיבר $a_n$.

הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $a_2\cdot a_{2n}=a_n\cdot a_{n+2}$.

בעבור $2k+1$ האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים הצמודים לאיבר האמצעי (האיבר שלפניו והאיבר שאחריו) שווה: $-1{,}536\cdot a_2$. נתון: $a_{2k-2}=-384$.

מצאו את $q$ (שתי אפשרויות).

נתון: $a_1=3$.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: $\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots$.

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי-זוגיים כך שמתקבלת הסדרה C שלפניכם: $-\frac1{a_1},\frac1{a_2},-\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots$.

מצאו את סכום הסדרה C.

נתונות שתי סדרות הנדסיות $b_n$ ו-$c_n$. מנת הסדרה $b_n$ שווה ל-$d$ (הפרש הסדרה החשבונית $a_n$). הסדרה $c_n$ היא סדרה הנדסית אינסופית שהמנה שלה שווה ל-$\frac{1}{d}$. נתון: $p=4$, $k=1$, $a_1=b_1=c_1$.

הסבירו מדוע הסדרה $c_n$ היא סדרה מתכנסת.

נתון כי היחס בין סכום $m$ האיברים הראשונים של הסדרה $b_n$ ובין סכום כל איברי הסדרה האינסופית $c_n$ הוא $64\frac{1}{2}$.

חשבו את $m$.

האם הסדרה $c_n$ היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

האם הסדרה: $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$ היא סדרה הנדסית? הוכיחו את תשובתכם.

מסמנים ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים של הסדרה A. יהי $n$ מספר טבעי אי-זוגי. הוכיחו כי: $a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_n^2=S_n\cdot\left(a_1-a_2+a_3-\ldots+a_n\right)$.

נתון: $a_1=4$, $q=2$, ו-$n$ הוא מספר טבעי אי-זוגי. הסכום $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2$ גדול פי 508 מן הסכום: $a_1-a_2+a_3-\ldots+a_n$. מצאו את $n$.

מצאו את מנת הסדרה ואת $n$.

המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין-סופית. נתון: B היא סדרה אין-סופית המקיימת לכל $k$ טבעי: $b_k=\frac1{a_{k+1}^2-a_k^2}$.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי במספר $m$ ($m\neq0$, $m\neq1$).

הביעו באמצעות $m$ ו-$a_1$ את ההפרש בין סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים ובין סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים (לאחר ההכפלה).

מצאו את $m$ שבעבורו הסדרה שמתקבלת לאחר ההכפלה היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

עבור $m$ שמצאתם בסעיף ד, נתון כי סכום הסדרה שמתקבלת לאחר ההכפלה הוא $\frac9{20}$. מצאו את $a_1$.