שאלות פתוחות: משוואות מעריכיות בניסוי וטעייה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות שבהן מגיעים למשוואה מעריכית ופותרים אותה בניסוי וטעייה, לכיתה י"א, 5 יחידות, בלי לוגריתמים. התלמידים מוצאים כמה איברים צריך כדי שהסכום יגיע לערך נתון, מחשבים את מספר האיברים כשהאיבר האחרון גדול פי 243 מהראשון, ומטפלים בסכום שלושת האיברים האחרונים מבין n הראשונים. יש גם שאלה על סדרת משחקי מחשב. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. ניתן לשלב אותן בבוחן או בדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

40 שאלותקלה: 18בינונית: 16קשה: 6

שאלה 1 · משוואות מעריכיות בניסוי וטעייהשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית שבה a1=3a_1=3a1​=3 ומנתה q=2q=2q=2.

א.

מצאו את nnn הקטן ביותר שעבורו סכום nnn האיברים הראשונים של הסדרה גדול מ-100010001000.

ב.

מצאו את nnn הקטן ביותר שעבורו האיבר ana_nan​ עצמו גדול מ-100010001000.

שאלה 2 · משוואות מעריכיות בניסוי וטעייהשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_nan​ נתון a1=2a_1=2a1​=2 ו-q=3q=3q=3. סכום שלושת האיברים האחרונים מבין nnn האיברים הראשונים של הסדרה, an−2+an−1+ana_{n-2}+a_{n-1}+a_nan−2​+an−1​+an​, הוא 210621062106.

א.

מצאו את nnn.

ב.

חשבו את סכום nnn האיברים הראשונים של הסדרה.

שאלה 3 · שלוש תוצאות: מציאת ההתפלגות, מספר ניסויים נדרש, סידורים בהינתן מספר הצלחות וברנולי מותנהשאלה מלאה · קשה

עומר משחק במשחק מחשב. בכל משחק יש שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד, ותוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו. ההסתברות לתיקו גדולה פי 2 מן ההסתברות להפסד. נתון: אם עומר משחק 2 משחקים, ההסתברות שינצח בדיוק במשחק אחד שווה להסתברות שלא ינצח באף משחק.

א.

מצאו את ההסתברויות לניצחון, לתיקו ולהפסד במשחק אחד.

ב.

מהו מספר המשחקים הקטן ביותר שעומר צריך לשחק כדי שההסתברות שינצח במשחק אחד לפחות תהיה 0.95 לפחות?

ג.

עומר שיחק 6 משחקים, וידוע שניצח בדיוק ב-2 מהם.

מהי ההסתברות ששני הניצחונות היו בשלושת המשחקים הראשונים?

ד.

עומר שיחק 5 משחקים, וידוע שלא הפסיד באף משחק.

מהי ההסתברות שניצח ב-3 משחקים לפחות?

שאלה 4 · משוואות מעריכיות בניסוי וטעייהשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית סופית שמנתה 333. האיבר האחרון בסדרה גדול פי 243243243 מהאיבר הראשון, וסכום כל איברי הסדרה הוא 109210921092.

מצאו את מספר האיברים בסדרה ואת האיבר הראשון.

שאלה 5 · סדרה חשבונית יורדת מנוסחת הסכום, וסדרות הנדסיות עם מנה שליליתשאלה מלאה · בינונית

נתונה סדרה ana_nan​ שסכום nnn האיברים הראשונים שלה, לכל nnn טבעי, הוא: Sn=p⋅n−k⋅n2S_n=p\cdot n-k\cdot n^2Sn​=p⋅n−k⋅n2. k>0k>0k>0, p>0p>0p>0 הם פרמטרים.

א.

(1)

הביעו את האיבר הכללי של הסדרה באמצעות kkk, ppp ו-nnn, בעבור n≥2n\ge2n≥2.

(2)

הנוסחה שמצאתם בתת-סעיף א(1) נכונה בעבור כל nnn טבעי. הסבירו מדוע.

(3)

הוכיחו כי הסדרה היא סדרה חשבונית, והביעו את ddd, ההפרש של הסדרה, באמצעות kkk.

ב.

נתונות שתי סדרות הנדסיות bnb_nbn​ ו-cnc_ncn​. מנת הסדרה bnb_nbn​ שווה ל-ddd (הפרש הסדרה החשבונית ana_nan​). הסדרה cnc_ncn​ היא סדרה הנדסית אינסופית שהמנה שלה שווה ל-1d\frac{1}{d}d1​. נתון: p=4p=4p=4, k=1k=1k=1, a1=b1=c1a_1=b_1=c_1a1​=b1​=c1​.

הסבירו מדוע הסדרה cnc_ncn​ היא סדרה מתכנסת.

ג.

נתון כי היחס בין סכום mmm האיברים הראשונים של הסדרה bnb_nbn​ ובין סכום כל איברי הסדרה האינסופית cnc_ncn​ הוא 641264\frac{1}{2}6421​.

חשבו את mmm.

ד.

האם הסדרה cnc_ncn​ היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

שאלה 6 · סדרה הנדסית חיובית: יחס סכומים, מכפלת איברים ומציאת הסדרהשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldotsa1​,a2​,a3​,…, ומנתה qqq. לכל nnn טבעי נסמן: SnS_nSn​ - סכום nnn האיברים הראשונים; Rn=1a1+1a2+…+1anR_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}Rn​=a1​1​+a2​1​+…+an​1​; Pn=a1⋅a2⋅…⋅anP_n=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_nPn​=a1​⋅a2​⋅…⋅an​ - מכפלת nnn האיברים הראשונים.

א.

הביעו את SnRn\frac{S_n}{R_n}Rn​Sn​​ באמצעות a1a_1a1​ ו-ana_nan​ בלבד.

ב.

הביעו את PnP_nPn​ באמצעות a1a_1a1​, ana_nan​ ו-nnn.

ג.

ידוע כי עבור nnn מסוים: SnRn=64\frac{S_n}{R_n}=64Rn​Sn​​=64 ו-Pn=215P_n=2^{15}Pn​=215. מצאו את nnn.

ד.

נתון בנוסף כי עבור אותו nnn: Sn=62S_n=62Sn​=62. מצאו את a1a_1a1​ ואת qqq (את כל האפשרויות).

שאלה 7 · משוואות מעריכיות בניסוי וטעייהשאלה קצרה · קלה

נתונה הסדרה an=2na_n=2^nan​=2n. מסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים שלה.

מצאו את nnn שעבורו SnS_nSn​ גדול ב-626262 מהאיבר ana_nan​.

שאלה 8 · סדרה הנדסית: מכפלת האיברים הצמודים לאיבר האמצעי, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופישאלה מלאה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא ana_nan​ ומנתה היא qqq.

א.

הוכיחו כי לכל nnn טבעי מתקיים: a2⋅a2n=an⋅an+2a_2\cdot a_{2n}=a_n\cdot a_{n+2}a2​⋅a2n​=an​⋅an+2​.

ב.

בעבור 2k+12k+12k+1 האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים הצמודים לאיבר האמצעי (האיבר שלפניו והאיבר שאחריו) שווה: −1,536⋅a2-1{,}536\cdot a_2−1,536⋅a2​. נתון: a2k−2=−384a_{2k-2}=-384a2k−2​=−384.

מצאו את qqq (שתי אפשרויות).

ג.

נתון: a1=3a_1=3a1​=3.

(1)

קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את התשובה.

(2)

מצאו את kkk.

ד.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: 1a1,1a2,1a3,1a4,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldotsa1​1​,a2​1​,a3​1​,a4​1​,….

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.

ה.

בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי-זוגיים כך שמתקבלת הסדרה C שלפניכם: −1a1,1a2,−1a3,1a4,…-\frac1{a_1},\frac1{a_2},-\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots−a1​1​,a2​1​,−a3​1​,a4​1​,….

מצאו את סכום הסדרה C.

שאלה 9 · סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים: סכומים במקומות זוגיים ואי-זוגיים ומכפיל כפרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית שבה 2n+12n+12n+1 איברים חיוביים (nnn הוא מספר טבעי): a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}a1​,a2​,…,a2n+1​.
סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים, ללא האיבר הראשון, גדול פי 3 מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.
סכום האיברים שנמצאים אחרי האיבר האמצעי גדול פי 729 מסכום האיברים שנמצאים לפני האיבר האמצעי.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת nnn.

ב.

המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין-סופית. נתון: B היא סדרה אין-סופית המקיימת לכל kkk טבעי: bk=1ak+12−ak2b_k=\frac1{a_{k+1}^2-a_k^2}bk​=ak+12​−ak2​1​.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ג.

בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי במספר mmm (m≠0m\neq0m=0, m≠1m\neq1m=1).

הביעו באמצעות mmm ו-a1a_1a1​ את ההפרש בין סכום האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים ובין סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים (לאחר ההכפלה).

ד.

מצאו את mmm שבעבורו הסדרה שמתקבלת לאחר ההכפלה היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ה.

עבור mmm שמצאתם בסעיף ד, נתון כי סכום הסדרה שמתקבלת לאחר ההכפלה הוא 920\frac9{20}209​. מצאו את a1a_1a1​.

שאלה 10 · משוואות מעריכיות בניסוי וטעייהשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, שבה a2=8a_2=8a2​=8 ו-a5=512a_5=512a5​=512.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

ב.

סכום nnn האיברים הראשונים של הסדרה הוא 273027302730. מצאו את nnn.

עוד 15 שאלות על משוואות מעריכיות בניסוי וטעייה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית: סדרת הריבועים, סכום מתחלף ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
שתי קופסאות כרטיסים: התניה בצבעים שונים, מספר זוגי של ניסיונות וחסם על מספר הכרטיסים (שאלה מלאה · קשה)
בקופסה א' יש 12 כרטיסים כחולים ו-8 כרטיסים ירוקים, ובקופסה ב' יש רק כרטיסים כחולים. נועה בוחרת באקראי קופסה ומוציאה ממנה באקראי כרטיס. אם…
מנוסחת הסכום לסדרה חשבונית, ואחריה סדרות הנדסיות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה $a_n$ שסכום $n$ האיברים הראשונים שלה, לכל $n$ טבעי, הוא: $S_n=2n^2+3n$ .
סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת ההפרשים $a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ( $q\neq1$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
מציאת n ממשוואה מעריכית עם מנה שבר (שאלה קצרה · קשה)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q=\frac35$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
סדרה הנדסית בת $2 n$ איברים: מסכומי תת-הסדרות לסכום מתחלף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית בת $2n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ , שבה $a_1=2$ ומנת הסדרה היא $q=3$ .
סדרה הנדסית עם מנה שלילית: מכפלת איברים עוקבים, מונוטוניות, סכום אינסופי וסכום מאמצע הסדרה (שאלה מלאה · בינונית)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ומנתה היא $q$ , $-1<q<0$ . נתון: $a_1=2$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה:…
סכום ריבועי האיברים, סכום מתחלף ומציאת מספר האיברים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
סדרה הנדסית נתונה: סדרת ההופכיים ויחס הסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , שבה $a_1=3$ והמנה $q=2$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים של A, וב- $R_n$ את…
סדרה הנדסית בת $3 n$ איברים, סדרה נגזרת וסכומים אין-סופיים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית שבה: $3n$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). כל איברי הסדרה: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{3n}$ הם חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שני…
הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ כשהאיבר הראשון נתון: מנה, התכנסות וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ שהאיבר הראשון שלה $a_1=2$ ומנתה $q$ ( $q\neq0$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
מספר האיברים מתוך סכום של סדרה הנדסית עם מנה שלילית (שאלה קצרה · בינונית)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שבה $a_1=1$ והמנה היא $q=-\frac12$ .
סדרה הנדסית עם $q = - \frac{1}{2}$ : סדרת מכפלות, מונוטוניות וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
הסדרה A היא סדרה הנדסית שבה $a_1=1$ והמנה היא $q=-\frac12$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ .
סכומי איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים ומציאת מספר האיברים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית בת $2n$ איברים: $a_1, a_2, ..., a_{2n}$ , שבה $a_1=2$ ומנת הסדרה היא $q=3$ . נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול פי 3…
סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים וסדרה נגזרת אין-סופית - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה הנדסית שבה $2n+1$ איברים חיוביים ( $n$ הוא מספר טבעי): $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ . סכום איברי הסדרה ללא האיבר הראשון גדול פי 2 מסכום…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה חשבונית מנוסחת הסכום, סדרה הנדסית וסדרה הנדסית אינסופית · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 2
נתונה סדרה $a_n$ שסכום $n$ האיברים הראשונים שלה, לכל $n$ טבעי, הוא: $S_n=k\cdot n^2-p\cdot n$ . $k>0$ , $p>0$ הם פרמטרים.
סדרה הנדסית: מכפלת האיברים האמצעיים, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ .
סדרה הנדסית: סדרת ההופכיים, יחס סכומים וסדרה עם סימנים מתחלפים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
סדרות הנדסיות אינסופיות: הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $b_n=a_n\cdot q^{n-1}$ .
סדרה הנדסית עם מנה שלילית: סדרת מכפלות, מונוטוניות, סכום אינסופי וסכום מאמצע הסדרה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\ldots$ ומנתה היא $q$ , $-1<q<0$ . נתון: $a_1=1$ . הסדרה B מוגדרת לכל $n$ טבעי באופן הזה: $b_n=a_n\cdot a_{n+2}$ .
סדרה הנדסית בת $2 n + 1$ איברים, סדרה נגזרת וסכומים אין-סופיים במקומות זוגיים ואי-זוגיים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית שבה: $2n+1$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). כל איברי הסדרה: $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2n+1}$ הם חיוביים. סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
כמות של חומר דועכת באופן מעריכי. ברגע $t=0$ הכמות היא $80$ גרם, וכעבור $4$ שעות היא $45$ גרם.
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
כמות מסוימת גדלה בכל שנה באותו אחוז, כך שבכל $5$ שנים היא גדלה פי $3$ .
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · קלה)
סדרה $b_n$ מוגדרת על ידי $b_1=-1$ , $b_{n+1}=b_n+2$ . מגדירים סדרה חדשה $a_n=3^{b_n}$ .
הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=2^n$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה.
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים נתון: $a_3=4$ . עבור מספר טבעי מסוים $n$ ידוע כי $a_n=32$ וכי $a_{2n}=2048$ .
סכום n האיברים הראשונים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הסדרות ההנדסיות $a_n=2^{n}$ ו- $b_n=1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ …
בעיות מחיי היום-יום בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
ביום הראשון צפו בסרטון של העירייה 20 איש, ובכל יום מספר הצופים גדל פי 2 לעומת היום הקודם. העירייה נותנת לכל…
בעיות מחיי היום-יום בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
רצף בינארי מורכב מהספרות 0 ו-1 בלבד. למקום ה- $k$ מימין (המקום הראשון הוא $k=1$ ) יש משקל $2^{k-1}$ , והערך…
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
מספר המשתמשים החדשים שהצטרפו לאפליקציה בכל שבוע היה גדול פי מספר קבוע ממספר המשתמשים החדשים שהצטרפו בשבוע…