דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים (סדרה הנדסית אינסופית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איברים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איבריםשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שאיברה הראשון a1=10a_1=10 ומנתה qq.

א.

האם ייתכן שסכום כל איברי הסדרה הוא 88? אם כן, מצאו את qq; אם לא, נמקו.

ב.

האם ייתכן שסכום כל איברי הסדרה הוא 44? אם כן, מצאו את qq; אם לא, נמקו.

שאלה 2 · הכנסת איבר בין איברי סדרה הנדסית: מנה, סכומים ותת-סדרותשאלה מלאה · קלה

סדרה I היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון הוא a1=45a_1=45 ומנתה 49\frac49. בין כל שני איברים סמוכים בסדרה I הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית יורדת, סדרה II, שאיבריה b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots (b1=a1=45b_1=a_1=45) ומנתה qq.

א.
(1)

הסבירו מדוע q2=49q^2=\frac49, ומצאו את qq.

(2)

חשבו את סכום סדרה I ואת סכום סדרה II.

ב.

חשבו את סכום האיברים של סדרה II במקומות הזוגיים (b2,b4,b6,…)(b_2, b_4, b_6, \ldots).

ג.

הסבירו מדוע סכום האיברים של סדרה II במקומות האי-זוגיים שווה לסכום סדרה I, ובדקו זאת בעזרת התשובות לסעיפים א(2) ו-ב.

ד.

מצאו את היחס בין האיבר השלישי בסדרה II לבין סכום כל האיברים שאחריו.

שאלה 3 · תנאי ההתכנסות וסכום אינסוף איבריםשאלה קצרה · בינונית

ana_n היא סדרה הנדסית שמנתה qq, ו-bnb_n היא סדרה הנדסית שמנתה pp (כל האיברים שונים מ-0). לכל nn טבעי: dn=an⋅bnd_n=a_n\cdot b_n.

א.

הוכיחו כי dnd_n היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות qq ו-pp.

ב.

נתון: a1=4a_1=4, q=12q=\frac12, b1=3b_1=3, p=−13p=-\frac13. מצאו את סכום כל איברי הסדרה dnd_n.

שאלה 4 · נוסחת סכום עם פרמטרים: תנאי התכנסות, יחס סכומים ומיון לפי הפרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה סדרה ana_n שסכום nn האיברים הראשונים שלה, לכל nn טבעי, הוא Sn=kn2−pnS_n=kn^2-pn, כאשר k>0k>0, p>0p>0 ו-p≠kp\neq k. נתונות סדרה הנדסית bnb_n שמנתה שווה ל-dd (ההפרש של ana_n), וסדרה הנדסית אינסופית cnc_n שמנתה שווה ל-1d\frac1d, ו-a1=b1=c1a_1=b_1=c_1.

א.

הוכיחו כי ana_n סדרה חשבונית, והביעו את a1a_1 ואת dd באמצעות kk ו-pp.

ב.

מצאו לאילו ערכים של kk הסדרה cnc_n מתכנסת. בעבור ערכים אלה, הביעו באמצעות הפרמטרים את היחס בין סכום mm האיברים הראשונים של bnb_n ובין סכום כל איברי cnc_n.

ג.

נתון כי עבור m=2m=2 היחס מסעיף ב שווה ל-3343\frac34. מצאו את kk.

ד.

עבור kk שמצאתם בסעיף ג, קבעו לפי ערכי pp אם הסדרה cnc_n עולה או יורדת.

שאלה 5 · סדרת ההופכיים עם סימנים מתחלפים - מתי יש סכום ומה הואשאלת ביניים · קשה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots שמנתה qq (q≠0q\neq0, q≠±1q\neq\pm1). מן הסדרה A בונים את הסדרה B: 1a1,1a2,1a3,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\ldots. בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי-זוגיים, וכך מתקבלת הסדרה C: −1a1,1a2,−1a3,1a4,…-\frac1{a_1},\frac1{a_2},-\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots.

א.

הוכיחו שהסדרה C היא סדרה הנדסית, ומצאו את כל ערכי qq שבעבורם לסדרה C יש סכום אין-סופי.

ב.

בסעיף ב נתון כי ∣q∣>1|q|>1.

הביעו באמצעות a1a_1 ו-qq את הסכום SBS_B של הסדרה B ואת הסכום SCS_C של הסדרה C, ואחר כך הביעו את qq באמצעות SBS_B ו-SCS_C בלבד.

שאלה 6 · סדרת הריבועים של סדרה הנדסית מתכנסת: המנה כפונקציה של הסכוםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת AA, שהאיבר הכללי שלה הוא ana_n ומנתה היא qq (q≠0q\neq0, a1≠0a_1\neq0). נסמן ב-SS את הסכום של כל איברי AA. בונים סדרה חדשה BB, שהאיבר הכללי שלה הוא bn=an2b_n=a_n^2. נתון: הסכום של כל איברי הסדרה BB הוא 12.

א.

הוכיחו ש-BB היא סדרה הנדסית מתכנסת.

ב.

הביעו את qq באמצעות SS.

ג.

לאילו ערכים של SS קיימת סדרה AA כזו? עבור אילו מהם הסדרה AA מחליפה סימן (איבריה חיוביים ושליליים לסירוגין)?

ד.

נתון גם: a1=3a_1=3.

מצאו את כל הסדרות AA האפשריות: עבור כל אחת - את qq ואת SS.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.