מבחן לדוגמה: מציאת האיבר הראשון או המנה מתוך סכום אינסופי - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את האיבר הראשון של הסדרה ואת מנתה.

חשבו את סכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה ($a_2+a_4+a_6+\dots$).

כתבו את $b_1$, $b_2$, $b_3$ באמצעות $q$, והראו כי $B$ היא סדרה הנדסית. מהי המנה שלה?

מצאו את כל ערכי $q$ שעבורם הסדרה $B$ מתכנסת, והראו שעבור ערכים אלה גם הסדרה $A$ מתכנסת.

נתון: $q>0$, והסכום של כל איברי הסדרה $B$ הוא $\frac83$.

מצאו את $q$ ואת הסכום של כל איברי הסדרה $A$.

נתון: $n$ הוא מספר טבעי המקיים $\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\ldots+\frac{b_n}{a_n}=\frac{255}{128}$.

הראו כי $\frac{b_k}{a_k}=q^{k-1}$, ומצאו את $n$.

מצאו את האיבר הראשון ואת המנה של הסדרה.

מצאו את הערך של $a_2$ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית חדשה B. נתון כי איברי הסדרה B מקיימים $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה הנדסית אין-סופית נוספת C. איברי הסדרה C הם: $k\cdot a_1\cdot a_3,\ k\cdot a_3\cdot a_5,\ k\cdot a_5\cdot a_7, \ldots$. $k\ne0$ הוא פרמטר.

נסמן ב-$S_B$ את סכום הסדרה B, וב-$S_C$ את סכום הסדרה C.

נתון $S_C=3\cdot S_B$.

מצאו את הערך של $k$.

הוכיחו כי $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$, והביעו את $b_n$ באמצעות $a_n$ ו-$q$.

נתון: האיבר הראשון בסדרה $a_n$ גדול מסכום כל שאר האיברים בה, וסכום הסדרה $b_n$ גדול פי 6.25 מן האיבר $b_2$.

מצאו את $q$.

בסדרה $b_n$ מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים. סכום הסדרה האין-סופית שמתקבלת הוא 25.

מצאו את $a_1$.

הוכיחו שהסדרה C היא סדרה הנדסית, ומצאו את כל ערכי $q$ שבעבורם לסדרה C יש סכום אין-סופי.

הביעו באמצעות $a_1$ ו-$q$ את הסכום $S_B$ של הסדרה B ואת הסכום $S_C$ של הסדרה C, ואחר כך הביעו את $q$ באמצעות $S_B$ ו-$S_C$ בלבד.

נתון: $S_B=\frac14$, $S_C=-\frac1{12}$. מצאו את $q$ ואת $a_1$.

האם קיימת סדרה A (עם $|q|>1$) שבעבורה $S_C=2S_B$? נמקו.