מבחן לדוגמה: בעיות משולבות עם סכום אינסופי (גאומטריה, פרמטרים) - כיתה י"א 5 יח"ל

$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1=8$. נסמן ב-$q$ את המנה של הסדרה, ב-$T$ את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים וב-$R$ את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. נתון: $T=3R$.

נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות. בסדרה A האיבר הראשון הוא $a_1=4$ והמנה היא $q_A=-\frac12$. בסדרה B האיבר הראשון הוא $b_1=2$ והמנה היא $q$, כאשר $0<q<1$. בונים סדרה חדשה שאיבריה הם: $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\frac{a_3}{b_3},\ldots$

נתון משולש שווה-צלעות שאורך צלעו $a$. מחברים את אמצעי צלעותיו ומקבלים משולש שני; מחברים את אמצעי צלעות המשולש השני ומקבלים משולש שלישי, וכך ממשיכים עד אינסוף. נתון כי סכום השטחים של כל המשולשים (כולל הראשון) הוא $12\sqrt3$.

נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות. בסדרה A האיבר הראשון הוא $a_1=4$ והמנה היא $q_A=-\frac12$. בסדרה B האיבר הראשון הוא $b_1=2$ והמנה היא $q$, כאשר $0<q<1$. בונים סדרה חדשה שאיבריה הם: $\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\frac{a_3}{b_3},\ldots$

נמלה יוצאת מנקודה $O$ והולכת $1$ מטר מזרחה. לאחר מכן היא פונה $90^\circ$ שמאלה והולכת $\frac12$ מטר, שוב פונה $90^\circ$ שמאלה והולכת $\frac14$ מטר, וכך הלאה: אחרי כל קטע היא פונה $90^\circ$ שמאלה והולכת מחצית מאורך הקטע הקודם, בלי סוף. הנמלה מתקרבת לנקודה $P$.

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת $A$, שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ($q\neq0$, $a_1\neq0$). נסמן ב-$S$ את הסכום של כל איברי $A$. בונים סדרה חדשה $B$, שהאיבר הכללי שלה הוא $b_n=a_n^2$. נתון: הסכום של כל איברי הסדרה $B$ הוא 12.