מבחן לדוגמה: sin(α±β) - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

sin(α±β)

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · sin(α±β)שאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי sin⁡70∘cos⁡10∘−cos⁡70∘sin⁡10∘sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡20∘sin⁡10∘\dfrac{\sin70^\circ\cos10^\circ-\cos70^\circ\sin10^\circ}{\sin20^\circ\cos10^\circ+\cos20^\circ\sin10^\circ}sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘sin70∘cos10∘−cos70∘sin10∘​.

חשבו, ללא שימוש במחשבון, את ערך הביטוי.

שאלה 2 · סינוס של סכום ושל הפרש: זהות ושימוש במשולששאלת ביניים · בינונית

נתון כי α\alphaα ו-β\betaβ הן זוויות חדות, ו-sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35sinα=53​, sin⁡β=817\sin\beta=\frac{8}{17}sinβ=178​.

א.

חשבו את sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)sin(α+β) ואת sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta)sin(α−β).

ב.

הוכיחו כי לכל שתי זוויות xxx ו-yyy מתקיים sin⁡(x+y)⋅sin⁡(x−y)=sin⁡2x−sin⁡2y\sin(x+y)\cdot\sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2ysin(x+y)⋅sin(x−y)=sin2x−sin2y, ובדקו את הזהות בעזרת התוצאות של סעיף א.

ג.

במשולש ABCABCABC נתון ∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β ו-BC=51BC=51BC=51 ס"מ. מצאו את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

שאלה 3 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה ∢BAD=120∘\sphericalangle BAD=120^\circ∢BAD=120∘. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה. הנקודה CCC נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הוכיחו: ∢KCE=30∘\sphericalangle KCE=30^\circ∢KCE=30∘.

ב.

נתון: ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את האורכים של צלעות המשולש KCEKCEKCE.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס EBAE\frac{EB}{AE}AEEB​.

ד.

נתון: EB=2AEEB=2AEEB=2AE.

חשבו את α\alphaα.

שאלה 4 · פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · בינונית

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡2x−sin⁡xf(x)=2\sin^2x-\sin xf(x)=2sin2x−sinx, g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

קבעו עבור כל אחת מהפונקציות: האם היא זוגית? אי-זוגית? אחרת? נמקו.

ב.

בסרטוט שלפניכם שני גרפים. אחד מתאים לפונקציה g(x)g(x)g(x), והשני מתאים לאחת מהפונקציות: h(x)=a⋅sin⁡2xh(x)=a\cdot\sin^2xh(x)=a⋅sin2x או k(x)=a⋅cos⁡2xk(x)=a\cdot\cos^2xk(x)=a⋅cos2x.
גרף אגרף ב
ABCD

(1)

קבעו איזה גרף מתאים לפונקציה g(x)g(x)g(x) ולאיזו מהפונקציות h(x)h(x)h(x) או k(x)k(x)k(x) מתאים הגרף השני. נמקו.

(2)

ידוע כי שיעורי הנקודה DDD, נקודת החיתוך בין שני הגרפים הקרובה ביותר לציר ה-yyy מימינו, הם (π3,1)\left(\frac\pi3,1\right)(3π​,1). מצאו את הערך של הפרמטר aaa.

(3)

מצאו את שיעורי הנקודות A,B,CA,B,CA,B,C שבסרטוט (נקודות החיתוך של גרף א עם הצירים בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π).

ג.

חשבו את גודל השטח המסומן בסרטוט.

שאלה 5 · שטח משולש בעזרת הסינוס של הפרש זוויותשאלה קצרה · קשה

משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, חסום במעגל שרדיוסו RRR, ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha∠BAC=2α. על המשך הבסיס BCBCBC, מעבר לנקודה CCC, נמצאת נקודה DDD כך ש-∠CAD=45∘\angle CAD=45^\circ∠CAD=45∘.
2α45°ABCD

מצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα, והביעו את שטח המשולש ACDACDACD באמצעות RRR ו-α\alphaα.

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל: צלע ויחס גבהים בעזרת sin(α+30°)שאלת ביניים · קשה

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
נתון: AD=RAD=RAD=R, והזווית ABD חדה.
נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את אורך הצלע AB.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

שאלה 1 · sin(α±β)שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · סינוס של סכום ושל הפרש: זהות ושימוש במשולששאלת ביניים · בינונית

שאלה 3 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

שאלה 4 · פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · שטח משולש בעזרת הסינוס של הפרש זוויותשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל: צלע ויחס גבהים בעזרת sin(α+30°)שאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד