שאלות פתוחות: sin(α±β) - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הזהות sin(α±β) לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מפשטים ביטויים עם זוויות כמו 70° ו-10°, מסיקים קשר בין tan α ל-tan β מתוך sin(α+β)=3sin(α-β), חוקרים פונקציה כמו sin(x+30°)+sin(x-30°)+cos x, ופותרים בעיות במרובע ובמשולש החסומים במעגל. רוב השאלות בינוניות, וחלק ניכר קשות. מתאים לתרגול זהויות לפני בגרות; בוחרים שאלות לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שאפשר לייצא ל-Word.

23 שאלותקלה: 2בינונית: 13קשה: 8

שאלה 1 · sin(α±β)שאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי sin⁡70∘cos⁡10∘−cos⁡70∘sin⁡10∘sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡20∘sin⁡10∘\dfrac{\sin70^\circ\cos10^\circ-\cos70^\circ\sin10^\circ}{\sin20^\circ\cos10^\circ+\cos20^\circ\sin10^\circ}sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘sin70∘cos10∘−cos70∘sin10∘​.

חשבו, ללא שימוש במחשבון, את ערך הביטוי.

שאלה 2 · sin(α±β)שאלה קצרה · בינונית

נתון כי sin⁡(α+β)=3sin⁡(α−β)\sin(\alpha+\beta)=3\sin(\alpha-\beta)sin(α+β)=3sin(α−β), כאשר cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0cosα=0 ו-cos⁡β≠0\cos\beta\ne0cosβ=0.

א.

הביעו את tan⁡α\tan\alphatanα באמצעות tan⁡β\tan\betatanβ.

ב.

נתון בנוסף כי α\alphaα ו-β\betaβ זוויות חדות המקיימות α+β=90∘\alpha+\beta=90^\circα+β=90∘. מצאו את tan⁡β\tan\betatanβ.

שאלה 3 · מרובע חסום במעגל עם זווית חופשית: יחס גבהים, שטח ומספר מרובעים מתאימיםשאלה מלאה · קשה

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
נתון: AD=RAD=RAD=R, והזווית ABD חדה.
נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את אורך הצלע AB.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

ג.

נתון ששטח המשולש ABD הוא 34R2\frac{\sqrt3}{4}R^243​​R2. מצאו את α\alphaα.

ד.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של α\alphaα (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-kR2kR^2kR2.

שאלה 4 · פונקציות טריגונומטריות: הזזה, נקודות חיתוך ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2cos⁡xf(x)=2\cos xf(x)=2cosx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הראו כי g(x)=2sin⁡xg(x)=2\sin xg(x)=2sinx, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

בסרטוט הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=asin⁡2xh(x)=a\sin^2xh(x)=asin2x בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. הגרפים נחתכים בנקודה D(π6,1)D\left(\frac\pi6,1\right)D(6π​,1).
g(x)h(x)
D

מצאו את aaa.

ג.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום π6≤x≤5π6\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}66π​≤x≤65π​ (השטח המסומן).

שאלה 5 · sin(α±β)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡(x+30∘)+sin⁡(x−30∘)+cos⁡xf(x)=\sin(x+30^\circ)+\sin(x-30^\circ)+\cos xf(x)=sin(x+30∘)+sin(x−30∘)+cosx בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ\le x\le360^\circ0∘≤x≤360∘.

א.

מצאו את הערך המקסימלי של הפונקציה ואת ערך xxx שבו הוא מתקבל.

ב.

פתרו את המשוואה f(x)=3f(x)=\sqrt3f(x)=3​ בתחום הנתון.

שאלה 6 · משולש שווה-שוקיים חסום במעגל וזווית של 45°: יחס שטחים מינימלי ושני משולשיםשאלה מלאה · קשה

משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, חסום במעגל שרדיוסו RRR, ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha∠BAC=2α. על המשך הבסיס BCBCBC, מעבר לנקודה CCC, נמצאת נקודה DDD כך ש-∠CAD=45∘\angle CAD=45^\circ∠CAD=45∘.
2α45°ABCD

א.

מצאו את תחום הערכים האפשריים של α\alphaα, והביעו את שטח המשולש ACDACDACD באמצעות RRR ו-α\alphaα.

ב.

נסמן ב-mmm את היחס בין שטח המשולש ACDACDACD לבין שטח המשולש ABCABCABC.

מצאו את הערך הקטן ביותר האפשרי של mmm, ואת α\alphaα שבעבורו הוא מתקבל.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם יש בדיוק שני משולשים ABCABCABC שונים (חסומים במעגל הנתון) המתאימים להם.

ד.

נתון כי m=3m=3m=3. מצאו את זוויות הבסיס של המשולש ABCABCABC בכל אחד מהמקרים האפשריים.

שאלה 7 · sin(α±β)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡(x+π3)+asin⁡(x−π3)f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+a\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)f(x)=sin(x+3π​)+asin(x−3π​), כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את ערך הפרמטר aaa שעבורו הפונקציה fff זוגית. נמקו.

ב.

עבור ערך aaa שמצאתם, מצאו את הערך המקסימלי של fff ואת כל ערכי xxx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π שבהם הוא מתקבל.

שאלה 8 · משולש שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: יחס השטחים כפונקציה של $\frac{A C}{A B}$ שאלה מלאה · קשה

המשולש ABC חסום במעגל, ומתקיים ∠ABC=2∠ACB\angle ABC=2\angle ACB∠ABC=2∠ACB. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E, וחוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט). נסמן ACAB=k\frac{AC}{AB}=kABAC​=k.
ABCEF

א.

הוכיחו: AE=ACAE=ACAE=AC.

ב.

הביעו באמצעות kkk את היחס BCAB\frac{BC}{AB}ABBC​, ומצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ג.

הביעו באמצעות kkk את היחס בין שטח המשולש AEC ובין שטח המשולש ABF.

ד.

נתון: שטח המשולש AEC גדול פי 163\frac{16}{3}316​ משטח המשולש ABF. מצאו את kkk.

ה.

האם ייתכן ששטח המשולש AEC גדול פי 4 בדיוק משטח המשולש ABF? נמקו.

שאלה 9 · sin(α±β)שאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון ∢A=30∘\sphericalangle A=30^\circ∢A=30∘ ו-sin⁡B=35\sin B=\frac35sinB=53​. ידוע כי BBB היא הזווית הגדולה ביותר במשולש.

מצאו את cos⁡B\cos BcosB, ומצאו את sin⁡C\sin CsinC.

שאלה 10 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זווית: מינימום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) אורך היתר הוא AC=dAC=dAC=d. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו (ראו סרטוט).
BACME

א.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את רדיוס המעגל החסום במשולש.

ב.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את המרחק ME.

ג.

מצאו את הזווית α\alphaα שבעבורה המרחק ME הוא הקטן ביותר, ואת המרחק הזה. היכן נמצאת הנקודה E ביחס למעגל החסום במקרה זה?

ד.

נתון: ME=d23−6ME=\frac d2\sqrt{3-\sqrt6}ME=2d​3−6​​. מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alphaα.

עוד 11 שאלות על sin(α±β)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ אורך הצלע $AC$ הוא $b$ . נתון: $\sphericalangle ABC=\beta$ ( $\beta$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle BAC=x$ ( $0<x<\pi-\beta$ ).
דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…
מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדי (שאלה מלאה · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית שבה $\sphericalangle BAD=120^\circ$ . הצלעות $AB$ ו- $AD$ משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ …
פונקציה ריבועית ב- $cos x$ : מספר פתרונות ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\cos2x+2\sin x$ ו- $g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)$ .
sin(α±β) (שאלה קצרה · בינונית)
בעבור כל אחת מן הטענות שבסעיפים א-ב, קבעו אם היא נכונה לכל $x$ . נמקו.
שטח משולש בעזרת הסינוס של הפרש זוויות (שאלה קצרה · קשה)
משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , חסום במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $\angle BAC=2\alpha$ . על המשך הבסיס $BC$ , מעבר לנקודה $C$ , נמצאת נקודה $D$ כך…
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
מרובע חסום במעגל: צלע ויחס גבהים בעזרת sin(α+30°) (שאלת ביניים · קשה)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה. נתון: $AD=R$ , והזווית ABD חדה.…
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
קשר בין טנגנסים מתוך שוויון של סינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי $\sin(\alpha+\beta)=3\sin(\alpha-\beta)$ , כאשר $\cos\alpha\ne0$ ו- $\cos\beta\ne0$ .
סינוס של סכום ושל הפרש: זהות ושימוש במשולש (שאלת ביניים · בינונית)
נתון כי $\alpha$ ו- $\beta$ הן זוויות חדות, ו- $\sin\alpha=\frac35$ , $\sin\beta=\frac{8}{17}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות $sin (\frac{π}{2} \pm x)$ והזזה ושיקוף של גרף · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 1
חשבו את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .