דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: פישוט ביטויים טריגונומטריים - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על פישוט ביטויים טריגונומטריים (זהויות טריגונומטריות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
פישוט ביטויים טריגונומטריים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · פישוט ביטוי טריגונומטרי לפונקציה קבועהשאלה קצרה · קלה

לפניכם פונקציה טריגונומטרית.

נתונה הפונקציה: f(x)=[sin⁡(x+π)+cos⁡(x+π2)]2+4(cos⁡(−x))2−3f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3 המוגדרת לכל xx. האם לפונקציה f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם ציר ה-xx? נמקו את תשובתכם.

שאלה 2 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 1−cos⁡2xsin⁡2x\frac{1-\cos2x}{\sin2x}, המוגדר לכל xx שעבורו sin⁡2x≠0\sin2x\ne0.

א.

הוכיחו כי לכל xx בתחום ההגדרה מתקיים: 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan x.

ב.

בעזרת הזהות שבסעיף א' מצאו את הערך המדויק של tan⁡π8\tan\frac{\pi}{8}.

שאלה 3 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלה קצרה · בינונית

נתון הביטוי: P=2sin⁡(60∘+β)⋅sin⁡(60∘−β)P=2\sin(60^\circ+\beta)\cdot\sin(60^\circ-\beta), כאשר 0∘<β<60∘0^\circ<\beta<60^\circ.

א.

הביעו את PP כביטוי שבו מופיע רק cos⁡2β\cos2\beta.

ב.

פתרו את המשוואה P=1P=1.

שאלה 4 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RR.

המשיק למעגל בנקודה BB והמשך המיתר ACAC נחתכים בנקודה DD. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את BDBD בנקודה MM. הקטע OMOM והמיתר BCBC נחתכים בנקודה NN. הקטע CFCF מאונך ל-BDBD (FF על BDBD).

נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha.

ABODCMNF
א.
(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMC. d2d_2 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFM. d3d_3 הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMD.

הביעו באמצעות α\alpha ו-RR את d1d_1, את d2d_2 ואת d3d_3.

ג.

מצאו את הערך של α\alpha שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}.

שאלה 5 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלת ביניים · קשה

נתון הביטוי sin⁡x⋅sin⁡(π3−x)⋅sin⁡(π3+x)\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right).

א.

הוכיחו כי לכל xx מתקיים: sin⁡x⋅sin⁡(π3−x)⋅sin⁡(π3+x)=14sin⁡3x\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}\sin3x.

ב.

חשבו את המכפלה sin⁡20∘⋅sin⁡40∘⋅sin⁡80∘\sin20^\circ\cdot\sin40^\circ\cdot\sin80^\circ. תנו תשובה מדויקת.

שאלה 6 · מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RR ומרכזו OO. המשיק למעגל בנקודה DD חותך את המשך הקוטר ABAB (מעבר לנקודה AA) בנקודה EE. נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha. על הקוטר ABAB מחפשים נקודה FF שמקיימת FE=FDFE=FD. ההמשך של DFDF חותך את המעגל בנקודה CC (ראו סרטוט).

ABDOEFC
א.

מצאו עבור אילו ערכים של α\alpha קיימת על הקוטר ABAB נקודה FF כזו, והביעו באמצעות α\alpha את ∠CDA\angle CDA.

ב.

הביעו באמצעות RR ו-α\alpha את אורך הקטע DFDF, ומצאו את כל הערכים האפשריים של היחס DFR\frac{DF}{R}.

ג.

הביעו באמצעות α\alpha את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}.

ד.

מצאו את α\alpha שבעבורו המשולשים AFDAFD ו-AEDAED שווי שטח.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.