שאלות פתוחות: פישוט ביטויים טריגונומטריים - כיתה י"א 5 יח"ל

פישוט ביטויים טריגונומטריים - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מפשטים ביטויים כמו (1-cos2x)/sin2x, מוצאים קבועים a ו-b כך ש-sin⁶x+cos⁶x=a+b cos 4x לכל x, מפשטים מכפלה של שלושה סינוסים עם π/3, ומחשבים ערכים של ביטוי כשהזווית נמצאת ברביע נתון. יש גם שאלה גאומטרית על מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וקובץ Word.

22 שאלותקלה: 2בינונית: 16קשה: 4

שאלה 1 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 1−cos⁡2xsin⁡2x\frac{1-\cos2x}{\sin2x}sin2x1−cos2x​, המוגדר לכל xxx שעבורו sin⁡2x≠0\sin2x\ne0sin2x=0.

א.

הוכיחו כי לכל xxx בתחום ההגדרה מתקיים: 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos2x}{\sin2x}=\tan xsin2x1−cos2x​=tanx.

ב.

בעזרת הזהות שבסעיף א' מצאו את הערך המדויק של tan⁡π8\tan\frac{\pi}{8}tan8π​.

שאלה 2 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלת ביניים · בינונית

נתון כי קיימים קבועים aaa ו-bbb כך שלכל xxx מתקיים: sin⁡6x+cos⁡6x=a+bcos⁡4x\sin^6x+\cos^6x=a+b\cos4xsin6x+cos6x=a+bcos4x.

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

פתרו את המשוואה sin⁡6x+cos⁡6x=58\sin^6x+\cos^6x=\frac{5}{8}sin6x+cos6x=85​ בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 3 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלת ביניים · קשה

נתון הביטוי sin⁡x⋅sin⁡(π3−x)⋅sin⁡(π3+x)\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)sinx⋅sin(3π​−x)⋅sin(3π​+x).

א.

הוכיחו כי לכל xxx מתקיים: sin⁡x⋅sin⁡(π3−x)⋅sin⁡(π3+x)=14sin⁡3x\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}\sin3xsinx⋅sin(3π​−x)⋅sin(3π​+x)=41​sin3x.

ב.

חשבו את המכפלה sin⁡20∘⋅sin⁡40∘⋅sin⁡80∘\sin20^\circ\cdot\sin40^\circ\cdot\sin80^\circsin20∘⋅sin40∘⋅sin80∘. תנו תשובה מדויקת.

שאלה 4 · פישוט ביטוי טריגונומטרי לפונקציה קבועהשאלה קצרה · קלה

לפניכם פונקציה טריגונומטרית.

נתונה הפונקציה: f(x)=[sin⁡(x+π)+cos⁡(x+π2)]2+4(cos⁡(−x))2−3f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3f(x)=[sin(x+π)+cos(x+2π​)]2+4(cos(−x))2−3 המוגדרת לכל xxx. האם לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx? נמקו את תשובתכם.

שאלה 5 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלה קצרה · בינונית

נתון: 3π4<x<π\frac{3\pi}{4}<x<\pi43π​<x<π.

פשטו את הביטוי 1+sin⁡2x+1−sin⁡2x\sqrt{1+\sin2x}+\sqrt{1-\sin2x}1+sin2x​+1−sin2x​, וכתבו אותו כביטוי ללא שורשים וללא ערך מוחלט.

שאלה 6 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן: יחס הצלעות ומתי אפשר לבנותשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK, שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד CCC נמצא על המעגל. נסמן ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורכי הצלעות ABABAB ו-ADADAD.

ב.

נתון: AB:AD=3:2AB:AD=3:2AB:AD=3:2. מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα (ערך מדויק).

ג.

נסמן k=ABADk=\frac{AB}{AD}k=ADAB​. מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם קיים מלבן כזה, כלומר מלבן שבו ABAD=k\frac{AB}{AD}=kADAB​=k ויש מעגל המשיק לצלעות ABABAB ו-ADADAD בנקודות פנימיות שלהן ועובר דרך CCC.

שאלה 7 · פישוט ביטויים טריגונומטרייםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה g(x)=sin⁡2x+sin⁡2(x+2π3)+sin⁡2(x+4π3)g(x)=\sin^2x+\sin^2\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin^2\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)g(x)=sin2x+sin2(x+32π​)+sin2(x+34π​), המוגדרת לכל xxx.

הראו כי ערך הפונקציה g(x)g(x)g(x) אינו תלוי ב-xxx, ומצאו אותו.

שאלה 8 · מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE. נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α. על הקוטר ABABAB מחפשים נקודה FFF שמקיימת FE=FDFE=FDFE=FD. ההמשך של DFDFDF חותך את המעגל בנקודה CCC (ראו סרטוט).
ABDOEFC

א.

מצאו עבור אילו ערכים של α\alphaα קיימת על הקוטר ABABAB נקודה FFF כזו, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠CDA\angle CDA∠CDA.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע DFDFDF, ומצאו את כל הערכים האפשריים של היחס DFR\frac{DF}{R}RDF​.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}SAED​SAFD​​.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו המשולשים AFDAFDAFD ו-AEDAEDAED שווי שטח.

שאלה 9 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 10 · פישוט יחס צלעות בעזרת 1+sin2α כריבועשאלה קצרה · קשה

המרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK, שהן נקודות פנימיות של הצלעות. הקודקוד CCC נמצא על המעגל. נסמן ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α (ראו סרטוט). נתון: AB=2Rcos⁡2αAB=2R\cos^2\alphaAB=2Rcos2α, AD=R(1+sin⁡2α)AD=R(1+\sin2\alpha)AD=R(1+sin2α).
αABCDEK

נתון: AB:AD=3:2AB:AD=3:2AB:AD=3:2. מצאו את tan⁡α\tan\alphatanα (ערך מדויק).

עוד 7 שאלות על פישוט ביטויים טריגונומטריים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פישוט ביטויים טריגונומטריים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הביטוי: $P=2\sin(60^\circ+\beta)\cdot\sin(60^\circ-\beta)$ , כאשר $0^\circ<\beta<60^\circ$ .
פישוט ביטויים טריגונומטריים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2\sin^2x-\sin2x}{2\sin x}$ בתחום $0<x<2\pi$ .
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
שאלות קצרות: סדרה חשבונית בטרפז, סכום מכפלות עוקבים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{h ( x )}$ מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ ,…
פישוט ביטויים טריגונומטריים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2(x+\pi)+\cos(x-\pi)\cdot\cos(\pi+x)+a$ ו- $g(x)=\sin^2(x+\pi)-\cos(x-\pi)\cdot\cos(\pi+x)+a$ , המוגדרות לכל $x$ .…
חקירת $\frac{s i n x + s i n x c o s ^{2} x}{1 - c o s ^{2} x}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
פישוט מנה טריגונומטרית ומציאת אסימפטוטות אנכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ . תחום ההגדרה של $f(x)$ בתחום זה: $x\neq0$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, סכום ריבועים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{g ( x )}$ מגרף · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ , $\angle B=a_2$ ,…
חקירת $\frac{4 s i n x}{c o s ^{2} x - 1}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .