מבחן לדוגמה: עקרון האינדוקציה: שלב הבסיס, שלב הצעד ושלב ההסקה - כיתה י"א 5 יח"ל

בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$, וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ-$n=k$ ל-$n=k+1$.

נתונות הסדרות $a_n=n$ ו-$b_n=2^n$ ($n$ טבעי). נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ נתון: $AB=5$, $DC=15$. הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים ($E$ על $AD$, $F$ על $BC$), והוא חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+1$ בתחום $0\le x\le3$. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את $f(x)$, את $f'(x)$ ואת $f''(x)$, לא בהכרח בסדר זה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}$.

נתון גם $a_1=3$. האם לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=n^2+1$? נמקו.

נתון כי השוויון $1\cdot1+2\cdot3+3\cdot3^2+\ldots+n\cdot3^{n-1}=\frac{(2n-1)\cdot3^n+1}{b}$ מתקיים בעבור $n=2$. $b$ הוא פרמטר שונה מ-0.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0\le x\le4$.

אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

I. $f(x)=(3-x)\sqrt{4x-x^2}$

II. $f(x)=(x-3)\sqrt{4x-x^2}$

III. $f(x)=(3-x)\sqrt{x^2-4x}$

IV. $f(x)=(x-3)\sqrt{x^2-4x}$

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש שתי נקודות קיצון בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y=0$. גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים, וזו נקודת החיתוך היחידה שלו עם הצירים. שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט: $(-2,-3)$ ו-$(2,3)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$.

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle ACB=90^\circ$).

נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $AC$.

נתון: $AC=6$.

הוכיחו כי $P(n)$ אינה נכונה בעבור אף אחד מהמספרים $n=1,2,\ldots,10$.

האם ניתן להסיק מהנתונים כי $P(11)$ אינה נכונה? אם כן - הוכיחו; אם לא - הביאו דוגמה לטענה $P(n)$ המקיימת את כל הנתונים ושבעבורה $P(11)$ נכונה.

הוכיחו כי לכל ערך של $c$ מתקיים: אם השוויון נכון בעבור $n=k$ ($k$ טבעי), אז הוא נכון גם בעבור $n=k+1$.

מצאו את כל ערכי $c$ שעבורם השוויון נכון לכל $n$ טבעי. נמקו.