שאלות פתוחות: עקרון האינדוקציה: שלב הבסיס, שלב הצעד ושלב ההסקה - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל $n$ טבעי: $a_n=4n$, $b_n=3^n$. נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים. הקטע $EF$ חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ של הטרפז בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה. נתון כי המרובע $ABFG$ הוא מקבילית.

לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את הפונקציה $f(x)$, את פונקציית הנגזרת הראשונה $f'(x)$, ואת פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. הפונקציות מוגדרות עבור: $0\le x\le2.5$.

לפניכם הגרף של הפונקציה $f(x)$. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת עבור: $x\ne-2$, $x\ne2$. משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ הן: $x=2$, $x=-2$, $y=k$, $0<k<1$. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$ הם: $(0,a)$, $a$ הוא מספר חיובי.

הוכיחו כי לכל ערך של $c$ מתקיים: אם השוויון נכון בעבור $n=k$ ($k$ טבעי), אז הוא נכון גם בעבור $n=k+1$.

מצאו את כל ערכי $c$ שעבורם השוויון נכון לכל $n$ טבעי. נמקו.

נתונות הסדרות $a_n=n$ ו-$b_n=2^n$ ($n$ טבעי). נסמן: $T_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n$.

בטרפז $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ נתון: $AB=5$, $DC=15$. הקטע $EF$ הוא קטע אמצעים ($E$ על $AD$, $F$ על $BC$), והוא חותך את האלכסונים $AC$ ו-$BD$ בנקודות $H$ ו-$G$ בהתאמה.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2+1$ בתחום $0\le x\le3$. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את $f(x)$, את $f'(x)$ ואת $f''(x)$, לא בהכרח בסדר זה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$.

נתונות הפונקציות: $f(x)$, $f'(x)$ ו-$f''(x)$, המוגדרות לכל $x\neq0$. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. לגרף הפונקציה $f''(x)$ יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$, ושיעוריהן הם: $(a,0)$, $(b,0)$, $(d,0)$. הנקודה $(c,e)$ היא נקודת הקיצון של הפונקציה $f''(x)$. הישר $y=k$, כאשר $0<k<e$, הוא אסימפטוטה אופקית של $f''(x)$ כאשר $x\to\infty$ (מסומן בקו מקווקו).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, ועליו כתובים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ ושיעורי נקודת המינימום שלה. הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

נתונות הפונקציות: $g(x)=|f(x)-m|$, $h(x)=|f(x)|-m$. $m$ הוא פרמטר, $0<m<3$.

המשולש ABC חסום במעגל. הקטע AD הוא קוטר במעגל, ו-AH הוא הגובה לצלע BC במשולש ABC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

הוכיחו כי $P(n)$ אינה נכונה בעבור אף אחד מהמספרים $n=1,2,\ldots,10$.

האם ניתן להסיק מהנתונים כי $P(11)$ אינה נכונה? אם כן - הוכיחו; אם לא - הביאו דוגמה לטענה $P(n)$ המקיימת את כל הנתונים ושבעבורה $P(11)$ נכונה.

נתון השוויון: $2+6+12+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודות $(a,0)$ ו-$(b,0)$, והנקודה $(c,e)$ היא נקודת המקסימום שלו.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4$, ונתונות הפונקציות $g(x)=|f(x)+1|$ ו-$h(x)=|f(x)|+1$.

המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD הוא קוטר במעגל שאורכו 10. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$

הנקודות B, C, D, E נמצאות על מעגל. המיתרים BD ו-CE נחתכים בנקודה A (ראו סרטוט). נתון: $AE=\frac34AC$, $AD=3AB$.

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$. לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$y$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$.

I. $\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-4}}$ II. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2+4}}$ III. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4}}$ IV. $\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+4}}$

הגרפים I-II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f'(x)$. כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו-$f'(x)$ מתוארות בסרטוט.

נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

ABCD טרפז שווה שוקיים $(AB\parallel CD)$, שאלכסוניו נפגשים בנקודה O.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

לפניכם שלושה גרפים I-III: אחד מהם מתאר את $f(x)$, אחד את $f'(x)$ ואחד את $f''(x)$. על כל גרף כתובים שיעורי נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

נתון כי השוויון $1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\ldots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{b}$ מתקיים בעבור $n=2$. $b$ הוא פרמטר שונה מ-0.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $-3\le x\le3$.

אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

I. $f(x)=x\sqrt{9-x^2}$

II. $f(x)=-x\sqrt{9-x^2}$

III. $f(x)=x\sqrt{x^2-9}$

IV. $f(x)=-x\sqrt{x^2-9}$

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y=0$. שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$ מוצגים בסרטוט.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)-3}$.

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle ABC=90^\circ$).

נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$.

נתון: $BC=3$.