מבחן לדוגמה: הוכחת נוסחאות סכום - כיתה י"א 5 יח"ל

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$. נסמן ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $35^\circ$ עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}$, המוגדרת לכל $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-4x$ (ראו גרף), ונתונה הפונקציה $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$ המוגדרת בתחום $-2\le t\le2$.

נתון השוויון: $2+6+12+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. הגרף חותך את ציר ה-$x$ בנקודות $(a,0)$ ו-$(b,0)$, והנקודה $(c,e)$ היא נקודת המקסימום שלו.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4$, ונתונות הפונקציות $g(x)=|f(x)+1|$ ו-$h(x)=|f(x)|+1$.

המרובע ABCD חסום במעגל, ו-AD הוא קוטר במעגל שאורכו 10. הנקודה F נמצאת על המשך הצלע CB, כך ש-$FB\perp FA$, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2+10+50+\ldots+2\cdot5^{n-1}=\frac{5^n-1}{2}$.

כמה מחוברים יש בסכום אם ערכו הוא 1562?

הוכיחו את הטענה באינדוקציה מתמטית.

חשבו את הסכום: $5\cdot7+6\cdot8+7\cdot9+\ldots+20\cdot22$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $T_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $T_n=\frac{n(n+1)\left(3a_1+(n-1)d\right)}{6}$.

מצאו את הסדרה (את $a_1$ ואת $d$) שבעבורה $T_n=n(n+1)(n+2)$ לכל $n$ טבעי.

נתון: $a_1=20$, $d=-3$. מצאו את המספר הטבעי $n$ שבעבורו $T_n=0$, והסבירו מדוע $T_n<0$ לכל $n$ גדול ממנו.