שאלות פתוחות: הוכחת נוסחאות סכום - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הוכחת נוסחאות סכום באינדוקציה לכיתה י"א, 5 יחידות, עם מבחר רחב של שאלות. בין השאלות: סכום מכפלות כמו 1·4+2·7+…+n(3n+1), סכום שברים 1/((2n-1)(2n+1)), סכום מכפלות בסדר הפוך T_n, והוכחת נוסחת הסכום של סדרה חשבונית באינדוקציה. רוב השאלות בינוניות, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבנות מכאן מבחן, בוחן או דף עבודה באינדוקציה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

81 שאלותקלה: 15בינונית: 61קשה: 5

שאלה 1 · הוכחת נוסחאות סכוםשאלה קצרה · קלה

נתון הסכום 1⋅4+2⋅7+3⋅10+…+n(3n+1)1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)1⋅4+2⋅7+3⋅10+…+n(3n+1).

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅4+2⋅7+3⋅10+…+n(3n+1)=n(n+1)21\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^21⋅4+2⋅7+3⋅10+…+n(3n+1)=n(n+1)2.

שאלה 2 · הוכחת נוסחאות סכוםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הסדרה an=4n−1a_n=4n-1an​=4n−1. מסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים שלה. רוצים להוכיח באינדוקציה כי Sn=pn2+qnS_n=pn^2+qnSn​=pn2+qn לכל nnn טבעי, כאשר ppp ו-qqq מספרים קבועים.

א.

מצאו את ppp ואת qqq שעבורם שלב המעבר מתקיים לכל kkk: אם Sk=pk2+qkS_k=pk^2+qkSk​=pk2+qk אז Sk+1=p(k+1)2+q(k+1)S_{k+1}=p(k+1)^2+q(k+1)Sk+1​=p(k+1)2+q(k+1).

ב.

בדקו האם עבור הערכים שמצאתם מתקיים גם שלב הבסיס, והסיקו מהי נוסחת הסכום SnS_nSn​.

שאלה 3 · הוכחת נוסחאות סכוםשאלה קצרה · קשה

לכל nnn טבעי מגדירים: Tn=1⋅n+2⋅(n−1)+3⋅(n−2)+…+n⋅1T_n=1\cdot n+2\cdot(n-1)+3\cdot(n-2)+\ldots+n\cdot1Tn​=1⋅n+2⋅(n−1)+3⋅(n−2)+…+n⋅1 (סכום של nnn מכפלות: המספרים 1,2,…,n1,2,\ldots,n1,2,…,n כפול המספרים n,n−1,…,1n,n-1,\ldots,1n,n−1,…,1 בהתאמה). למשל T1=1T_1=1T1​=1, T2=1⋅2+2⋅1=4T_2=1\cdot2+2\cdot1=4T2​=1⋅2+2⋅1=4.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: Tn=n(n+1)(n+2)6T_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}Tn​=6n(n+1)(n+2)​.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: זוויות במעגל, אינדוקציה, תחום של שורשים ופונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

לפניכם ארבע שאלות קצרות. ענו על כולן.

א.

הסרטוט לסעיף א:
ACBDP

במעגל שבסרטוט המיתרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה PPP. נתון: הקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB ואת DDD) היא 80∘80^\circ80∘, והקשת BDBDBD (שאינה מכילה את AAA ואת CCC) היא 120∘120^\circ120∘. מעבירים את המיתר BCBCBC. חשבו את ∢ABC\sphericalangle ABC∢ABC, את ∢BCD\sphericalangle BCD∢BCD ואת ∢BPD\sphericalangle BPD∢BPD.

ב.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי: 11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1n(n+1)=nn+1\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+...+n(n+1)1​=n+1n​.

ג.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=x−2⋅x+4f(x)=\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+4}f(x)=x−2​⋅x+4​ ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)=(x−2)(x+4)h(x)=\sqrt{(x-2)(x+4)}h(x)=(x−2)(x+4)​.

(2)

האם הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-h(x)h(x)h(x) מסעיף ג(1) זהות? נמקו.

ד.

נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום −3≤x≤5-3\le x\le5−3≤x≤5, ונתונה הפונקציה h(a)=∫−1af(x) dxh(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxh(a)=∫−1a​f(x)dx עבור a>−1a>-1a>−1.
-224-22

(1)

היעזרו בכך ש-h′(a)=f(a)h'(a)=f(a)h′(a)=f(a), וקבעו באיזה תחום h(a)h(a)h(a) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

(2)

היעזרו בכך ש-h′′(a)=f′(a)h''(a)=f'(a)h′′(a)=f′(a), ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של h(a)h(a)h(a).

שאלה 5 · הוכחת נוסחאות סכוםשאלה קצרה · בינונית

נתון הסכום 11⋅3+13⋅5+15⋅7+…+1(2n−1)(2n+1)\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}1⋅31​+3⋅51​+5⋅71​+…+(2n−1)(2n+1)1​.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 11⋅3+13⋅5+…+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}1⋅31​+3⋅51​+…+(2n−1)(2n+1)1​=2n+1n​.

ב.

חשבו את הסכום 115⋅17+117⋅19+…+139⋅41\frac{1}{15\cdot17}+\frac{1}{17\cdot19}+\ldots+\frac{1}{39\cdot41}15⋅171​+17⋅191​+…+39⋅411​.

שאלה 6 · סכום הסכומים של סדרה חשבונית כללית: בעיה הפוכה ושינוי סימןשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה a1a_1a1​ וההפרש שלה ddd.
נסמן ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים שלה, וב-TnT_nTn​ את הסכום Tn=S1+S2+⋯+SnT_n=S_1+S_2+\dots+S_nTn​=S1​+S2​+⋯+Sn​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn טבעי מתקיים: Tn=n(n+1)(3a1+(n−1)d)6T_n=\frac{n(n+1)\left(3a_1+(n-1)d\right)}{6}Tn​=6n(n+1)(3a1​+(n−1)d)​.

ב.

מצאו את הסדרה (את a1a_1a1​ ואת ddd) שבעבורה Tn=n(n+1)(n+2)T_n=n(n+1)(n+2)Tn​=n(n+1)(n+2) לכל nnn טבעי.

ג.

נתון: a1=20a_1=20a1​=20, d=−3d=-3d=−3. מצאו את המספר הטבעי nnn שבעבורו Tn=0T_n=0Tn​=0, והסבירו מדוע Tn<0T_n<0Tn​<0 לכל nnn גדול ממנו.

שאלה 7 · שאלות קצרות בשלבים: אינדוקציה, משיקים, פונקציות שורש וגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1+2+22+…+2n−1=2n−11+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-11+2+22+…+2n−1=2n−1

ב.

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).
POAB

(1)

הוכיחו כי המרובע OAPB הוא בר חסימה במעגל.

(2)

נתון: PA=2RPA=2RPA=2R. הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את המרובע OAPB.

ג.

נתונות הפונקציות: f(x)=x2(x+3)f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}f(x)=x2(x+3)​, k(x)=xx+3k(x)=x\sqrt{x+3}k(x)=xx+3​.

(1)

הראו כי f(x)=∣x∣x+3f(x)=|x|\sqrt{x+3}f(x)=∣x∣x+3​, ומצאו לכל אחת מהפונקציות fff ו-kkk את תחום ההגדרה ואת התחומים שבהם היא חיובית ושבהם היא שלילית.

לפניכם שני גרפים I ו-II.
גרף I
גרף II

(2)

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה מתאר את k(x)k(x)k(x). נמקו.

ד.

לפניכם גרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0. הישרים x=0x=0x=0 ו-y=0y=0y=0 הם אסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בכל תחום הגדרתה, ו-f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.
f(x)

(1)

קבעו באילו תחומים f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 ובאילו f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0. נמקו.

(2)

האם f′(x)f'(x)f′(x) עולה או יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0? נמקו.

(3)

קבעו איזה מן המספרים גדול יותר: ∫12f(x)dx\int_1^2f(x)dx∫12​f(x)dx או ∫23f(x)dx\int_2^3f(x)dx∫23​f(x)dx, וקבעו את הסימן של ∫12f′(x)dx\int_1^2f'(x)dx∫12​f′(x)dx. נמקו.

שאלה 8 · הוכחת נוסחאות סכוםשאלה קצרה · בינונית

נתון הסכום 12−22+32−42+…+(2n−1)2−(2n)21^2-2^2+3^2-4^2+\ldots+(2n-1)^2-(2n)^212−22+32−42+…+(2n−1)2−(2n)2, שבו הסימנים מתחלפים ויש 2n2n2n איברים.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 12−22+32−42+…+(2n−1)2−(2n)2=−n(2n+1)1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)12−22+32−42+…+(2n−1)2−(2n)2=−n(2n+1).

ב.

חשבו את הסכום 12−22+32−42+…−202+2121^2-2^2+3^2-4^2+\ldots-20^2+21^212−22+32−42+…−202+212.

שאלה 9 · הוכחה באינדוקציה: סכום שבמכנים חזקות של 2שאלה קצרה · קשה

נתון הסכום 32+54+78+…+2n+12n\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}23​+45​+87​+…+2n2n+1​, כאשר nnn מספר טבעי.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל nnn טבעי מתקיים: 32+54+78+…+2n+12n=5−2n+52n\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}23​+45​+87​+…+2n2n+1​=5−2n2n+5​

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: סכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות שורש, פונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)61\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=6n(n+1)(4n+5)​. נסמן ב-SnS_nSn​ את הסכום של nnn האיברים הראשונים.

(1)

האיבר 4⋅94\cdot94⋅9 הוא האיבר הרביעי בסכום, והאיבר 10⋅2110\cdot2110⋅21 הוא האיבר העשירי. היעזרו ב-S10S_{10}S10​ וב-S3S_3S3​, וחשבו את הערך של הביטוי: 4⋅9+5⋅11+…+10⋅214\cdot9+5\cdot11+\ldots+10\cdot214⋅9+5⋅11+…+10⋅21.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=(n+1)(n+2)(4n+C)61\cdot3+2\cdot5+\ldots+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+C)}{6}1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=6(n+1)(n+2)(4n+C)​.

(2)

הסבירו מדוע אגף שמאל שווה ל-Sn+1S_{n+1}Sn+1​, הציבו n+1n+1n+1 בנוסחה של SnS_nSn​ ומצאו את CCC.

ב.

הנקודה AAA נמצאת על מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה AAA יוצר זווית של 35∘35^\circ35∘ עם המיתר ABABAB (ראו סרטוט).
35°OABE

(1)

חשבו את הזוויות OABOABOAB ו-AOBAOBAOB. (היעזרו בכך שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.)

(2)

חשבו את אורך הקשת הקטנה ABABAB, ואת היחס בין אורך הקשת הזאת להיקף המעגל.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=9x2+42xf(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}f(x)=2x9x2+4​​, המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0.

(1)

הראו כי עבור x>0x>0x>0 מתקיים f(x)=129+4x2f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=21​9+x24​​, ועבור x<0x<0x<0 מתקיים f(x)=−129+4x2f(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=−21​9+x24​​.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה g(x)=2f(x−1)g(x)=2f(x-1)g(x)=2f(x−1).

(3)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g(x)g(x)g(x).

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x (ראו גרף), ונתונה הפונקציה g(t)=∫−2tf(x) dxg(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dxg(t)=∫−2t​f(x)dx המוגדרת בתחום −2≤t≤2-2\le t\le2−2≤t≤2.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

הראו כי g(t)=(t2−4)24g(t)=\frac{(t^2-4)^2}{4}g(t)=4(t2−4)2​.

(2)

מצאו את תחום הירידה של g(t)g(t)g(t). האם יש ערכים של ttt שעבורם g(t)g(t)g(t) שלילית? נמקו.

(3)

מצאו את נקודות הפיתול של g(t)g(t)g(t).

עוד 55 שאלות על הוכחת נוסחאות סכום

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי קיימים קבועים $a$ ו- $b$ כך שלכל $n$ טבעי מתקיים:…
סכום הסכומים של סדרה חשבונית: הוכחה ושימוש (שאלת ביניים · קשה)
נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה $a_1$ וההפרש שלה $d$ . נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים שלה, וב- $T_n$ את הסכום…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
שאלות קצרות: זווית בין חותכים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו- $D$ ( $A$ בין $P$ …
סכום שבמכנה שלו סכום של שלוש עצרות (שאלה מלאה · קשה)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים. נתון הסכום: $S_n=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינום (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם שתי טענות על הסכום $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n(n+1)$ . רק אחת מהן נכונה לכל $n$ טבעי. I.…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהטענה נכונה עבור $n=1$ ועבור $n=2$ .
שאלות קצרות: סכום ריבועי האי-זוגיים, מרובעים בני חסימה, אסימפטוטות של שורש ומשפחה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}$
שאלות קצרות (מודרך): אינדוקציה, טרפז וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - 2)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $\frac45+\frac4{25}+\frac4{125}+\ldots+\frac4{5^n}=1-\frac1{5^n}$ . בדקו את נכונות הטענה בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הטור $1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ .
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של שורש, $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
בדקו כי השוויון מתקיים בעבור $n=2$ ובעבור $n=4$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות של $cos$ ושיקוף והזזה של גרף (שאלה מלאה · בינונית)
חשבו את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
לכל $n$ טבעי, $n\ge2$ , נתונה המכפלה…
שאלות קצרות מודרכות: סכום $n (n + 1)$ באינדוקציה, בחירת סימן של פונקציית שורש ושטח של $f^{2}$ , $\frac{1}{f - 4}$ מגרף, משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ .
שאלות קצרות: סדרה חשבונית בטרפז, סכום מכפלות עוקבים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{h ( x )}$ מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ ,…
סדרה הנדסית אין-סופית: סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת ההפכיים ואינדוקציה (שאלה מלאה · קלה)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס, והאיבר הראשון שלה הוא $a_1=8$ . נסמן ב- $q$ את המנה של הסדרה, ב- $T$ את סכום האיברים…
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
ילדה בונה קוביות גדולות מקוביות קטנות. כל קובייה גדולה היא קובייה מלאה: קובייה שאורך צלעה $k$ קוביות קטנות בנויה מ- $k^3$ קוביות קטנות. תוכלו…
סדרה חשבונית: סכום הסכומים - הוכחה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הסדרה החשבונית $2,5,8,11,\dots$ נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה, וב- $T_n$ את הסכום $T_n=S_1+S_2+\dots+S_n$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
הוכחה באינדוקציה: סכום חזקות של 2 (שאלה קצרה · קלה)
נתון הסכום $1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי מתקיים…
הוכחה באינדוקציה: סכום המכפלות של מספר בעצרת שלו (שאלה קצרה · קלה)
נתון הסכום $1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\ldots+n\cdot n!$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
שאלות קצרות: קטע מסכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הצטברות של פונקציה אי-זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot89$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2\cdot4+4\cdot7+6\cdot10+\ldots+2n(3n+1)=2n(n+1)^2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון השוויון: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון השוויון: $\frac1{1\cdot4}+\frac1{4\cdot7}+\dots+\frac1{(3n-2)(3n+1)}=\frac n{3n+1}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז בר-חסימה, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי מתקיים $1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\ldots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ואנך אמצעי, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי מתקיים $1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\ldots+n\cdot2^n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $a$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי השוויון $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n+a}{2(n+2)}$ מתקיים בעבור $n=1$ . $a$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הסכום: $T_n=\frac{1^2+1-1}{1\cdot2}+\frac{2^2+2-1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}$
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: סכום $n (n + 2)$ באינדוקציה, $x 9 - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 3}$ , שטח משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי השוויון $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{an+1}$ מתקיים בעבור $n=1$ . $a$ …
שאלות קצרות: סכום $k \cdot 3^{k - 1}$ באינדוקציה, $(x - 3) 4 x - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , היקף משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
סדרה הנדסית אין-סופית: סכום הסדרה וסכום המקומות האי-זוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $S$ את סכום כל האיברים בסדרה, ונסמן ב- $T$ את סכום האיברים…
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הסכום $2+10+50+\ldots+2\cdot5^{n-1}$ , שבו $n$ מחוברים.
סדרה חשבונית: סכום הסכומים החלקיים והוכחה באינדוקציה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הסדרה החשבונית הבאה: $3,7,11,15,\dots$ נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הנ"ל.
הוכחת נוסחאות סכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הטענה: $1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ לכל $n$ טבעי.
הוכחה באינדוקציה: סכום ריבועי המספרים האי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הסכום $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2$ של ריבועי $n$ המספרים האי-זוגיים הראשונים.
נוסחת סכום של מכפלות: הוכחה ושימוש לחישוב סכום חלקי (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
הוכחה באינדוקציה: סכום שברים שבמכנה שלהם עצרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הסכום $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\ldots+\frac{n}{(n+1)!}$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
תכונת העצרת והוכחת נוסחת סכום (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים.
מכפלת המספרים האי-זוגיים בעזרת עצרת (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים. נסמן ב- $P_n$ את המכפלה של $n$ המספרים האי-זוגיים הראשונים: $P_n=1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)$ .
הוכחה באינדוקציה: סכום עם חזקות של 2 ועצרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הסכום $\frac{1\cdot2}{3!}+\frac{2\cdot2^2}{4!}+\frac{3\cdot2^3}{5!}+\ldots+\frac{n\cdot2^n}{(n+2)!}$ , כאשר $n$ מספר טבעי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: זווית בין מיתרים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 1
הראו כי במעגל, הזווית הנוצרת על ידי שני מיתרים שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. כלומר יש להראות:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, גבהים במשולש, אסימפטוטות של פונקציית שורש והתאמת גרף · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$
שאלות קצרות: יחס שטחים בטרפז, מכפלה טלסקופית באינדוקציה, זהויות $sin (\frac{π}{2} \pm x)$ והזזה ושיקוף של גרף · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 1
חשבו את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .
שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, סכום ריבועים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{g ( x )}$ מגרף · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ , $\angle B=a_2$ ,…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
שאלות קצרות: סכום באינדוקציה, משיק ומיתר, אסימפטוטות של פונקציית שורש, פונקציית הצטברות של פונקציה אי-זוגית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 1
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot12+10\cdot17+\ldots+58\cdot97$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2+4^2+6^2+8^2+\ldots+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: נוסחת סכום באינדוקציה, התאמת פונקציית שורש לגרף ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
מצאו את הערך של $b$ .
סדרה הנדסית אין-סופית: סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $T$ את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה, ונסמן ב- $R$ את סכום…
סדרה חשבונית: סכום הסכומים החלקיים והוכחה באינדוקציה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונה הסדרה החשבונית הבאה: $4,9,14,19,\dots$ נסמן ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הנ"ל.