מבחן לדוגמה: הוכחת טענות התחלקות - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי $5^n-1$ מתחלק ב-4 לכל $n$ טבעי.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $4^n+1$ מתחלק ב-3 ללא שארית, אז גם $4^{n+1}+1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^4-6x^2+1$. הראו ש-$f$ זוגית, מצאו את $f'(x)$ והראו ש-$f'$ אי-זוגית.

לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=4-x^2$ בתחום $-2.2\le x\le3$.

נגדיר: $F(a)=\int_{-2}^{a}f(x)\,dx$, $a>-2$.

נתונה סדרה חשבונית ובה 9 איברים. האיבר הראשון הוא 4 וההפרש הוא 3.

הוכיחו באינדוקציה ש-$n^3+2n$ מתחלק ב-3 לכל $n$ טבעי.

האם $n^3+2n$ מתחלק ב-6 לכל $n$ טבעי? נמקו.

הוכיחו באינדוקציה כי הביטוי $8^n-1$ מתחלק ב-7 ללא שארית.

נתון: $p$ הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של $p$ שבעבורו הביטוי $8^{n+1}+p$ מתחלק ב-14 ללא שארית לכל $n$.

בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.

נתון: $p$ הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של $p$ שבעבורו הביטוי $3^{2n+2}+p$ מתחלק ב-24 ללא שארית, לכל $n$ טבעי.

הראו כי $P_n=\frac{(2n)!}{n!}$.

הראו כי $P_{k+1}=2(2k+1)\cdot P_k$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי $P_n$ מתחלק ב-$2^n$ ללא שארית.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי המנה $\frac{P_n}{2^n}$ היא מספר אי-זוגי, והסיקו כי $P_n$ אינו מתחלק ב-$2^{n+1}$.