שאלות פתוחות: הוכחת טענות התחלקות - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכחת טענות התחלקות באינדוקציה מתמטית: שאלות פתוחות לכיתה י"א ברמת 5 יחידות. התלמידים מוכיחים שביטויים כמו 3^n+7^n-2 או n^4-n^2 מתחלקים במספר מסוים לכל n טבעי, מטפלים בטענה שנכונה רק למספרים אי-זוגיים, ובודקים ביטוי עם חזקה של חזקה 2^{2^n}-6. רוב השאלות ברמה בינונית, וחלקן קשות. המורה יכול לשלב אותן במבחן או בדף עבודה באינדוקציה, ולקבל פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word.

24 שאלותקלה: 4בינונית: 14קשה: 6

שאלה 1 · שאלות קצרות בהדרכה: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרףשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
הסרטוטים לסעיף ד:
סרטוט א
סרטוט ב
סרטוט ג
סרטוט ד

א.

הטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD) חסום במעגל, ו-∢DAB=70∘\sphericalangle DAB=70^\circ∢DAB=70∘. מצאו את שאר זוויות הטרפז, והסבירו מדוע הטרפז שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 לכל nnn טבעי.

ג.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x. הראו ש-f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

(2)

קבעו אם הפונקציה g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4 זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. היעזרו ב-g(1)g(1)g(1) וב-g(−1)g(-1)g(−1).

ד.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}f(x)=x2+4​x​. הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx, ומצאו את האסימפטוטות האופקיות שלה.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה לכל xxx, וקבעו איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה. נמקו.

שאלה 2 · הוכחת טענות התחלקותשאלה קצרה · בינונית

בשאלה זו nnn מסמן מספר טבעי אי-זוגי כלשהו.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי n2−1n^2-1n2−1 מתחלק ב-888 ללא שארית.

ב.

הוכיחו, בעזרת סעיף א', כי n4−1n^4-1n4−1 מתחלק ב-161616 ללא שארית.

שאלה 3 · הוכחת טענות התחלקותשאלה קצרה · קשה

לכל nnn טבעי מגדירים: f(n)=22n−6f(n)=2^{2^n}-6f(n)=22n−6. למשל: f(1)=22−6=−2f(1)=2^2-6=-2f(1)=22−6=−2, f(2)=24−6=10f(2)=2^4-6=10f(2)=24−6=10.

הוכיחו כי לכל n≥2n\ge2n≥2 טבעי, f(n)f(n)f(n) מתחלק ב-101010 ללא שארית.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

שאלה 5 · הוכחת טענות התחלקותשאלה קצרה · בינונית

לכל nnn טבעי מגדירים: f(n)=3n+7n−2f(n)=3^n+7^n-2f(n)=3n+7n−2.

הוכיחו באינדוקציה כי f(n)f(n)f(n) מתחלק ב-888 ללא שארית לכל nnn טבעי.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · שאלת חובה מודרכת: אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, הצטברות וסדרה חשבוניתשאלה מלאה · קלה

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 4n+14^n+14n+1 מתחלק ב-3 ללא שארית, אז גם 4n+1+14^{n+1}+14n+1+1 מתחלק ב-3 ללא שארית.

(1)

הוכיחו את הטענה.

(2)

בדקו אם 4n+14^n+14n+1 מתחלק ב-3 עבור n=1,2,3n=1,2,3n=1,2,3. האם הטענה מסעיף א(1) מוכיחה ש-4n+14^n+14n+1 מתחלק ב-3 לכל nnn טבעי? הסבירו.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=x4−6x2+1f(x)=x^4-6x^2+1f(x)=x4−6x2+1. הראו ש-fff זוגית, מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) והראו ש-f′f'f′ אי-זוגית.

ג.

לפניכם גרף הפונקציה f(x)=4−x2f(x)=4-x^2f(x)=4−x2 בתחום −2.2≤x≤3-2.2\le x\le3−2.2≤x≤3.
-3-2-1123-6-4-224
נגדיר: F(a)=∫−2af(x) dxF(a)=\int_{-2}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫−2a​f(x)dx, a>−2a>-2a>−2.

(1)

האם F(0)F(0)F(0) חיובי או שלילי? נמקו.

(2)

באיזה תחום F(a)F(a)F(a) עולה ובאיזה תחום היא יורדת? באיזה ערך של aaa יש ל-FFF מקסימום?

ד.

נתונה סדרה חשבונית ובה 9 איברים. האיבר הראשון הוא 4 וההפרש הוא 3.

(1)

חשבו את האיבר הראשון, האיבר האמצעי והאיבר האחרון של הסדרה, והראו שהם מהווים סדרה חשבונית.

(2)

הראו שבכל סדרה חשבונית בת 9 איברים שהפרשה ddd, האיבר הראשון, האמצעי והאחרון מהווים סדרה חשבונית, והביעו את הפרשה באמצעות ddd.

שאלה 8 · הוכחת טענות התחלקותשאלה קצרה · בינונית

לכל nnn טבעי מגדירים: f(n)=n4−n2f(n)=n^4-n^2f(n)=n4−n2.

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי f(n)f(n)f(n) מתחלק ב-121212 ללא שארית לכל nnn טבעי.

שאלה 9 · שאלת חובה מורחבת: צעד ובסיס עם פרמטר, זוגיות בכיוון ההפוך, הצטברות ותנאי לסדרהשאלה מלאה · קשה

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k8n+1+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kkk מספר שלם).

(1)

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kkk.

(2)

מצאו את כל ערכי kkk בתחום 0≤k≤200\le k\le200≤k≤20 שעבורם 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 לכל nnn טבעי.

ב.

(1)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ זוגית. האם fff בהכרח אי-זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

(2)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ אי-זוגית. האם fff בהכרח זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)(x−1)(x−3)f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)f(x)=(x+1)(x−1)(x−3) בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4. נגדיר F(a)=∫−1af(x) dxF(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫−1a​f(x)dx, −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4.

(1)

הביעו את F(a)F(a)F(a) באמצעות aaa, ומצאו את כל ערכי aaa בתחום שעבורם F(a)=0F(a)=0F(a)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר של F(a)F(a)F(a) בתחום −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4, ואת aaa שבו הוא מתקבל.

ד.

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}a1​,a2​,…,a2n+1​ שהפרשה d≠0d\ne0d=0.

(1)

מצאו את כל ערכי kkk (1≤k≤2n+11\le k\le2n+11≤k≤2n+1) שעבורם a1a_1a1​, aka_kak​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית.

(2)

האם ייתכן ש-a1a_1a1​, an+1a_{n+1}an+1​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ הם גם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית? נמקו.

שאלה 10 · הוכחת התחלקות באינדוקציה: $5^{n} - 1$ ו-4שאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי 5n−15^n-15n−1, כאשר nnn מספר טבעי.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 לכל nnn טבעי.

עוד 12 שאלות על הוכחת טענות התחלקות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הוכחת טענות התחלקות (שאלה קצרה · בינונית)
לכל $n$ טבעי מגדירים: $f(n)=4^n+15n-1$ .
הוכחת התחלקות באינדוקציה: $n^{3} + 5 n$ ו-6 (שאלה קצרה · קשה)
נתון הביטוי $n^3+5n$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
שאלות קצרות: מקבילית חסומה, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.
התחלקות של $3^{2 n} - 1$ ב-8 ושימוש בה להתחלקות ב-24 (שאלת ביניים · קשה)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
הוכחת טענות התחלקות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון הביטוי $n^3+2n$ , כאשר $n$ מספר טבעי.
מכפלת המספרים מ-n+1 עד 2n: התחלקות בחזקה של 2 (שאלה מלאה · קשה)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים. נסמן ב- $P_n$ את המכפלה של המספרים הטבעיים מ- $n+1$ עד $2n$ : $P_n=(n+1)(n+2)\cdot\ldots\cdot(2n)$ לדוגמה:…
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
הוכחת טענות התחלקות (שאלה קצרה · בינונית)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
התחלקות של $6^{n} - 1$ ב-5 ושימוש בה (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
הוכחת התחלקות של עצרת בחזקה של 3 כפול עצרת (שאלה קצרה · בינונית)
לכל $n$ טבעי נתון המספר $(3n)!$ .
הוכחת התחלקות של עצרת בחזקה של 6 (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים.
הוכחת התחלקות ב-6 של מנת עצרות (שאלת ביניים · בינונית)
לכל $n$ טבעי מגדירים: $f(n)=\frac{(n+3)!}{n!}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 1
הוכיחו כי כל טרפז שחסום במעגל הוא שווה שוקיים.
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.