מבחן לדוגמה: אינדוקציה בסדרות: שקילות כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=b_n$ לכל $n$ טבעי.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos(n\pi)$, $n$ טבעי.

לפניכם שני גרפים בעלי אותו תחום הגדרה ($x\neq0$). אחד מהם הוא הגרף של פונקציה $f(x)$, והשני הוא הגרף של הנגזרת שלה $f'(x)$.

איזה גרף מתאים ל-$f(x)$ ואיזה ל-$f'(x)$? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2n+1$, ו-$b_n$ המוגדרת על ידי $b_1=3$, $b_{n+1}=b_n+2$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא בהכרח זוגית. נמקו.

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=n+1-\frac{1}{n}$ לכל $n$ טבעי.

מצאו את $q$ ואת $d$.

הוכיחו באינדוקציה כי עבור הערכים שמצאתם הנוסחה $a_n=2\cdot3^n+d$ מתקיימת לכל $n$ טבעי.

מצאו את $c$. הוכיחו באינדוקציה את הנוסחה לפי מקום שבה השתמשתם.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2^n+n$, $b_{n+1}=2b_n-n+1$ ו-$b_1=3$.

הראו כי $a_1=b_1$. האם $a_2=b_2$? האם $a_4=b_4$?

האם הסדרות זהות? אם לא, תנו דוגמה. אם כן, הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=b_n$.