שאלות פתוחות: אינדוקציה בסדרות: שקילות כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=3^n$ לכל $n$ טבעי.

חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

מצאו את $c$. הוכיחו באינדוקציה את הנוסחה לפי מקום שבה השתמשתם.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos(n\pi)$, $n$ טבעי.

לפניכם שני גרפים בעלי אותו תחום הגדרה ($x\neq0$). אחד מהם הוא הגרף של פונקציה $f(x)$, והשני הוא הגרף של הנגזרת שלה $f'(x)$.

איזה גרף מתאים ל-$f(x)$ ואיזה ל-$f'(x)$? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2n+1$, ו-$b_n$ המוגדרת על ידי $b_1=3$, $b_{n+1}=b_n+2$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא בהכרח זוגית. נמקו.

מצאו את $q$ ואת $d$.

הוכיחו באינדוקציה כי עבור הערכים שמצאתם הנוסחה $a_n=2\cdot3^n+d$ מתקיימת לכל $n$ טבעי.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2^n+n$, $b_{n+1}=2b_n-n+1$ ו-$b_1=3$.

הראו כי $a_1=b_1$. האם $a_2=b_2$? האם $a_4=b_4$?

האם הסדרות זהות? אם לא, תנו דוגמה. אם כן, הוכיחו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=b_n$.

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=b_n$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=n+(p-1)\cdot3^{n-1}$ לכל $n$ טבעי.

מצאו את כל ערכי $p$ שעבורם הסדרה עולה.

הוכיחו באינדוקציה כי $a_n=n+1-\frac{1}{n}$ לכל $n$ טבעי.

מצאו את כל ערכי $n$ שעבורם $a_n$ הוא מספר שלם.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos\left(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$, $n$ טבעי.

לפניכם שלושה גרפים. הגרפים מתאימים לפונקציה $f(x)$ ולשתי הנגזרות הראשונות שלה: $f'(x)$, $f''(x)$. לשלוש הפונקציות תחום הגדרה זהה.

איזה גרף מתאים לכל אחת מהן? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2^n+n$, $b_{n+1}=2b_n-n+1$ ו-$b_1=3$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

אילו מהפונקציות הבאות הן בהכרח זוגיות? נמקו את קביעותיכם.