דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה (אינדוקציה מתמטית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, , , ו-שאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתונות הסדרות an=na_n=n ו-bn=2nb_n=2^n (nn טבעי). נסמן: Tn=a1b1+a2b2+…+anbnT_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n.

(1)

הראו כי Tk+1=Tk+(k+1)⋅2k+1T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}, והוכיחו: אם בעבור kk טבעי כלשהו Tk=(k−1)⋅2k+1T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}, אז Tk+1=k⋅2k+2T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}.

(2)

חשבו את T1T_1 ואת T2T_2, ובדקו אם הם מקיימים את הנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1T_n=(n-1)\cdot2^{n+1}. האם הנוסחה נכונה לכל nn טבעי? נמקו.

(3)

מצאו מספר cc כך שהנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1+cT_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+c תהיה נכונה לכל nn טבעי, והסבירו מדוע היא נכונה.

ב.

בטרפז ABCDABCD (AB∥CD)(AB\parallel CD) נתון: AB=5AB=5, DC=15DC=15. הקטע EFEF הוא קטע אמצעים (EE על ADAD, FF על BCBC), והוא חותך את האלכסונים ACAC ו-BDBD בנקודות HH ו-GG בהתאמה.

ABCDEFGH
(1)

חשבו את האורכים EFEF, EGEG, HFHF ו-GHGH.

(2)

הוכיחו כי המרובע ABHGABHG הוא מקבילית.

המשך הקטע AGAG חותך את הקטע DHDH בנקודה MM.

(3)

היעזרו במשולש DBHDBH, והוכיחו כי MM היא אמצע הקטע DHDH.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1 בתחום 0≤x≤30\le x\le3. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את f(x)f(x), את f′(x)f'(x) ואת f′′(x)f''(x), לא בהכרח בסדר זה.

-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
(1)

מצאו את f′(x)f'(x) ואת f′′(x)f''(x), והתאימו כל אחד מהגרפים I-III לפונקציה שהוא מייצג. נמקו.

(2)

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)f(x) ואת משוואת המשיק לגרף f(x)f(x) בנקודה זו.

(3)

חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1f''(x)\,dx בשתי דרכים: בעזרת הפונקציה הקדומה f′(x)f'(x), ובעזרת השטח שבין גרף f′′f'' לציר ה-xx.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=3x2+12x2−2f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של f(x)f(x), ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x) עם ציר ה-yy.

(2)

הראו כי בנקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x) ו-1f(x)\frac1{f(x)} מתקיים f(x)=1f(x)=1 או f(x)=−1f(x)=-1, ומצאו את נקודות החיתוך.

(3)

מצאו את האסימפטוטה האופקית של 1f(x)\frac1{f(x)} ואת המרחק בינה לבין האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x).

שאלה 2 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.
(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^2 לכל nn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha, והביעו באמצעות RR ו-α\alpha את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circ.

(2)

הביעו באמצעות RR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x) עם ציר ה-xx ואת שיעור ה-xx של נקודת המינימום של f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x) המוגדרת לכל xx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x) עם ציר ה-xx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx.

שאלה 3 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · בינונית

לפניכם טענה:

אם ל-nn טבעי מסוים 6n+46^n+4 מתחלק ב-5 ללא שארית, אז גם 6n+1+46^{n+1}+4 מתחלק ב-5 ללא שארית.

א.

הוכיחו את הטענה.

ב.

האם 6n+46^n+4 מתחלק ב-5 לכל nn טבעי? נמקו.

שאלה 4 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · בינונית

תלמיד רצה להוכיח באינדוקציה את הטענה: לכל nn טבעי, 2+4+6+⋯+2n=n2+n+22+4+6+\dots+2n=n^2+n+2. הוא הראה שאם הטענה נכונה עבור n=kn=k, היא נכונה גם עבור n=k+1n=k+1, ועל סמך זה קבע שהטענה נכונה לכל nn טבעי.

א.

הראו כי אם הטענה נכונה עבור n=kn=k, היא נכונה גם עבור n=k+1n=k+1.

ב.

האם קיים nn טבעי שעבורו הטענה נכונה? אם כן, מצאו את כל הערכים האלה; אם לא, הוכיחו זאת והסבירו מה חסר בהוכחה של התלמיד.

שאלה 5 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · קשה

לפניכם "משפט" ו"הוכחה" באינדוקציה.

"משפט": לכל nn טבעי, אם aa ו-bb מספרים טבעיים (a,b≥1a,b\ge1) ו-max⁡(a,b)=n\max(a,b)=n, אז a=ba=b.

"הוכחה": בסיס - אם max⁡(a,b)=1\max(a,b)=1 אז a=b=1a=b=1. צעד - נניח שהטענה נכונה עבור kk, ויהיו a,ba,b טבעיים עם max⁡(a,b)=k+1\max(a,b)=k+1. אז max⁡(a−1,b−1)=k\max(a-1,b-1)=k, ולפי הנחת האינדוקציה a−1=b−1a-1=b-1, כלומר a=ba=b.

הראו בעזרת דוגמה נגדית שה"משפט" שגוי, ומצאו את הכשל ב"הוכחה". הסבירו את הכשל בעזרת הדוגמה שלכם.

שאלה 6 · שלב צעד שנכון לכל k: הבסיס קובע מתי הטענה נכונהשאלת ביניים · קשה

בשאלה זו nn הוא מספר טבעי.

א.

לפניכם טענה:

אם ל-nn טבעי מסוים 8n+k8^n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kk מספר שלם).

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kk.

ב.

מצאו את כל ערכי kk בתחום 0≤k≤200\le k\le20 שעבורם 8n+k8^n+k מתחלק ב-7 לכל nn טבעי.

ג.

היעזרו בסעיף א עבור k=−1k=-1, והוכיחו באינדוקציה ש-8n−18^n-1 מתחלק ב-7 ללא שארית לכל nn טבעי. הסיקו ש-8n+38^n+3 אינו מתחלק ב-7 לאף nn טבעי, אף ששלב הצעד של סעיף א נכון גם עבור k=3k=3.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.