שאלות פתוחות: זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה - כיתה י"א 5 יח"ל

אוסף שאלות על זיהוי הוכחות אינדוקציה תקינות ומהלכים שגויים, לכיתה י"א, 5 יחידות. בכל שאלה מוצגת הוכחה של תלמיד - למשל טענה על סכום מספרים זוגיים שהצעד שלה עובד אבל הבסיס לא נבדק, "משפט" על מקסימום של שני מספרים שההוכחה שלו שגויה, או טענה על תשלום במטבעות של 4 ו-5 שקלים - וצריך למצוא היכן הטעות או להשלים את ההוכחה. רוב השאלות בינוניות. מתאים לדיון בכיתה ולבוחן; בוחרים את השאלות, מקבלים פתרון מלא ומייצאים ל-Word.

28 שאלותקלה: 6בינונית: 19קשה: 3

שאלה 1 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · קלה

תלמיד הוכיח באינדוקציה כי 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​ לכל nnn טבעי. בצעד האינדוקציה הוא הניח שהטענה נכונה עבור n=kn=kn=k, ורשם את השוויון שעליו להוכיח עבור n=k+1n=k+1n=k+1:
k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)6\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}6k(k+1)(2k+1)​+(k+1)2=6(k+1)(k+2)(2k+3)​
אחר כך ביצע פעולות אלגבריות על שני האגפים עד שהגיע ל-0=00=00=0, וקבע שהצעד הושלם.

א.

הסבירו מדוע ההגעה ל-0=00=00=0 אינה מוכיחה כשלעצמה את השוויון שהתלמיד רצה להוכיח.

ב.

כתבו צעד אינדוקציה תקין עבור הטענה.

שאלה 2 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · בינונית

תלמיד ניסה להוכיח באינדוקציה שבכל סדרה חשבונית שהפרשה d≠0d\neq0d=0 מתקיים לכל nnn טבעי:
Sn=n(a1+an)2+dS_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}+dSn​=2n(a1​+an​)​+d
כאשר SnS_nSn​ הוא סכום nnn האיברים הראשונים. הוא הוכיח רק את שלב המעבר: הניח שהטענה נכונה עבור n=kn=kn=k, והסיק ממנה שהיא נכונה עבור n=k+1n=k+1n=k+1.

א.

הראו כי שלב המעבר אכן מתקיים: אם Sk=k(a1+ak)2+dS_k=\dfrac{k(a_1+a_k)}{2}+dSk​=2k(a1​+ak​)​+d, אז Sk+1=(k+1)(a1+ak+1)2+dS_{k+1}=\dfrac{(k+1)(a_1+a_{k+1})}{2}+dSk+1​=2(k+1)(a1​+ak+1​)​+d.

ב.

האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי? אם כן, השלימו את ההוכחה; אם לא, הסבירו היכן ההוכחה נכשלת ומצאו את הנוסחה הנכונה.

שאלה 3 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · קשה

לפניכם "משפט" ו"הוכחה" באינדוקציה.
"משפט": לכל nnn טבעי, אם aaa ו-bbb מספרים טבעיים (a,b≥1a,b\ge1a,b≥1) ו-max⁡(a,b)=n\max(a,b)=nmax(a,b)=n, אז a=ba=ba=b.
"הוכחה": בסיס - אם max⁡(a,b)=1\max(a,b)=1max(a,b)=1 אז a=b=1a=b=1a=b=1. צעד - נניח שהטענה נכונה עבור kkk, ויהיו a,ba,ba,b טבעיים עם max⁡(a,b)=k+1\max(a,b)=k+1max(a,b)=k+1. אז max⁡(a−1,b−1)=k\max(a-1,b-1)=kmax(a−1,b−1)=k, ולפי הנחת האינדוקציה a−1=b−1a-1=b-1a−1=b−1, כלומר a=ba=ba=b.

הראו בעזרת דוגמה נגדית שה"משפט" שגוי, ומצאו את הכשל ב"הוכחה". הסבירו את הכשל בעזרת הדוגמה שלכם.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתונות הסדרות an=na_n=nan​=n ו-bn=2nb_n=2^nbn​=2n (nnn טבעי). נסמן: Tn=a1b1+a2b2+…+anbnT_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_nTn​=a1​b1​+a2​b2​+…+an​bn​.

(1)

הראו כי Tk+1=Tk+(k+1)⋅2k+1T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}Tk+1​=Tk​+(k+1)⋅2k+1, והוכיחו: אם בעבור kkk טבעי כלשהו Tk=(k−1)⋅2k+1T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}Tk​=(k−1)⋅2k+1, אז Tk+1=k⋅2k+2T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}Tk+1​=k⋅2k+2.

(2)

חשבו את T1T_1T1​ ואת T2T_2T2​, ובדקו אם הם מקיימים את הנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1T_n=(n-1)\cdot2^{n+1}Tn​=(n−1)⋅2n+1. האם הנוסחה נכונה לכל nnn טבעי? נמקו.

(3)

מצאו מספר ccc כך שהנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1+cT_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+cTn​=(n−1)⋅2n+1+c תהיה נכונה לכל nnn טבעי, והסבירו מדוע היא נכונה.

ב.

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CD)(AB\parallel CD)(AB∥CD) נתון: AB=5AB=5AB=5, DC=15DC=15DC=15. הקטע EFEFEF הוא קטע אמצעים (EEE על ADADAD, FFF על BCBCBC), והוא חותך את האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD בנקודות HHH ו-GGG בהתאמה.
ABCDEFGH

(1)

חשבו את האורכים EFEFEF, EGEGEG, HFHFHF ו-GHGHGH.

(2)

הוכיחו כי המרובע ABHGABHGABHG הוא מקבילית.

המשך הקטע AGAGAG חותך את הקטע DHDHDH בנקודה MMM.

(3)

היעזרו במשולש DBHDBHDBH, והוכיחו כי MMM היא אמצע הקטע DHDHDH.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1f(x)=x3−3x2+1 בתחום 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את f(x)f(x)f(x), את f′(x)f'(x)f′(x) ואת f′′(x)f''(x)f′′(x), לא בהכרח בסדר זה.
I
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
II
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
III
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) ואת f′′(x)f''(x)f′′(x), והתאימו כל אחד מהגרפים I-III לפונקציה שהוא מייצג. נמקו.

(2)

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה זו.

(3)

חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1f''(x)\,dx∫01​f′′(x)dx בשתי דרכים: בעזרת הפונקציה הקדומה f′(x)f'(x)f′(x), ובעזרת השטח שבין גרף f′′f''f′′ לציר ה-xxx.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=3x2+12x2−2f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}f(x)=2x2−23x2+1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy.

(2)

הראו כי בנקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ מתקיים f(x)=1f(x)=1f(x)=1 או f(x)=−1f(x)=-1f(x)=−1, ומצאו את נקודות החיתוך.

(3)

מצאו את האסימפטוטה האופקית של 1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ ואת המרחק בינה לבין האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x).

שאלה 5 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · בינונית

תלמיד רצה להוכיח באינדוקציה את הטענה: לכל nnn טבעי, 2+4+6+⋯+2n=n2+n+22+4+6+\dots+2n=n^2+n+22+4+6+⋯+2n=n2+n+2. הוא הראה שאם הטענה נכונה עבור n=kn=kn=k, היא נכונה גם עבור n=k+1n=k+1n=k+1, ועל סמך זה קבע שהטענה נכונה לכל nnn טבעי.

א.

הראו כי אם הטענה נכונה עבור n=kn=kn=k, היא נכונה גם עבור n=k+1n=k+1n=k+1.

ב.

האם קיים nnn טבעי שעבורו הטענה נכונה? אם כן, מצאו את כל הערכים האלה; אם לא, הוכיחו זאת והסבירו מה חסר בהוכחה של התלמיד.

שאלה 6 · שאלת חובה מורחבת: צעד ובסיס עם פרמטר, זוגיות בכיוון ההפוך, הצטברות ותנאי לסדרהשאלה מלאה · קשה

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k8n+1+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kkk מספר שלם).

(1)

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kkk.

(2)

מצאו את כל ערכי kkk בתחום 0≤k≤200\le k\le200≤k≤20 שעבורם 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 לכל nnn טבעי.

ב.

(1)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ זוגית. האם fff בהכרח אי-זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

(2)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ אי-זוגית. האם fff בהכרח זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)(x−1)(x−3)f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)f(x)=(x+1)(x−1)(x−3) בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4. נגדיר F(a)=∫−1af(x) dxF(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫−1a​f(x)dx, −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4.

(1)

הביעו את F(a)F(a)F(a) באמצעות aaa, ומצאו את כל ערכי aaa בתחום שעבורם F(a)=0F(a)=0F(a)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר של F(a)F(a)F(a) בתחום −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4, ואת aaa שבו הוא מתקבל.

ד.

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}a1​,a2​,…,a2n+1​ שהפרשה d≠0d\ne0d=0.

(1)

מצאו את כל ערכי kkk (1≤k≤2n+11\le k\le2n+11≤k≤2n+1) שעבורם a1a_1a1​, aka_kak​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית.

(2)

האם ייתכן ש-a1a_1a1​, an+1a_{n+1}an+1​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ הם גם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית? נמקו.

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}31⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n2 לכל nnn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circα=30∘.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המוגדרת לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k∫69​g(x)dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kkk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx∫47​g(x+2)dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx∫47​[g(x+2)+2]dx.

שאלה 8 · זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחהשאלה קצרה · בינונית

תלמיד רצה להוכיח שכל סכום שלם של n≥12n\ge12n≥12 שקלים אפשר לשלם במטבעות של 444 ושל 555 שקלים בלבד. הוא בדק שאפשר לשלם 121212, 131313 ו-141414 שקלים, והוכיח: אם אפשר לשלם kkk שקלים, אפשר לשלם גם k+4k+4k+4 שקלים (מוסיפים מטבע של 444 שקלים).

האם מהבדיקה ומהמעבר שהתלמיד הראה נובע שהטענה נכונה לכל n≥12n\ge12n≥12? אם לא, מצאו את הסכום הקטן ביותר שההוכחה שלו אינה מכסה, והסבירו מדוע.

שאלה 9 · שלב צעד שנכון לכל k: הבסיס קובע מתי הטענה נכונהשאלת ביניים · קשה

בשאלה זו nnn הוא מספר טבעי.

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k8n+1+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kkk מספר שלם).

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kkk.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk בתחום 0≤k≤200\le k\le200≤k≤20 שעבורם 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 לכל nnn טבעי.

ג.

היעזרו בסעיף א עבור k=−1k=-1k=−1, והוכיחו באינדוקציה ש-8n−18^n-18n−1 מתחלק ב-7 ללא שארית לכל nnn טבעי. הסיקו ש-8n+38^n+38n+3 אינו מתחלק ב-7 לאף nnn טבעי, אף ששלב הצעד של סעיף א נכון גם עבור k=3k=3k=3.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, זוויות במשולש, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטותשאלה מלאה · קלה

שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.

א.

בסדרה מתקיים: an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1an+1​=an​+2n+1.

(1)

הוכיחו: אם עבור kkk טבעי מסוים ak=k2+1a_k=k^2+1ak​=k2+1, אז ak+1=(k+1)2+1a_{k+1}=(k+1)^2+1ak+1​=(k+1)2+1.

(2)

נתון גם a1=3a_1=3a1​=3. האם לכל nnn טבעי מתקיים an=n2+1a_n=n^2+1an​=n2+1? נמקו.

ב.

בדקו נכונות / אי נכונות הטענה הבאה. אם היא נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.
אם זוויות α\alphaα ו-β\betaβ של משולש מקיימות sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha=\sin\betasinα=sinβ, אז המשולש שווה-שוקיים.

ג.

במשחק מחשב מופיעה בכל שלב דמות במקום אקראי על גבי משטח שצורתו מקבילית ABCDABCDABCD. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה OOO, כמתואר בסרטוט.
ABCDO

מהי ההסתברות שהדמות מופיעה בתוך המשולש AOBAOBAOB?

ד.

לפניכם שלוש פונקציות:
f(x)=2x2+1x2−1;g(x)=2x+1x2−1;h(x)=2x3x2+1f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-1}\quad;\quad g(x)=\frac{2x+1}{x^2-1}\quad;\quad h(x)=\frac{2x^3}{x^2+1}f(x)=x2−12x2+1​;g(x)=x2−12x+1​;h(x)=x2+12x3​
לאיזו מהן יש אסימפטוטה אופקית y=2y=2y=2? נמקו את בחירתכם ופסלו את האחרות.

עוד 12 שאלות על זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות: זווית בין חותכים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו- $D$ ( $A$ בין $P$ …
שאלת חובה מודרכת: אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, הצטברות וסדרה חשבונית (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו את הטענה.
שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k+1)\cdot3^{k+2}$ .
האם שלב הצעד לבדו מוכיח טענת התחלקות? (שאלה קצרה · קלה)
בשאלה זו $n$ הוא מספר טבעי.
זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי, המספר $4^n+1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת ההפרשים $a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ( $q\neq1$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.
זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה מתקיים: $a_{n+1}=a_n+4n+2$ .
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית. רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי…
זיהוי הוכחות תקינות ומהלכים שגויים שאינם הוכחה (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $6^n+4$ מתחלק ב-5 ללא שארית, אז גם $6^{n+1}+4$ מתחלק ב-5 ללא שארית.
שלב צעד תקין, בסיס שנכשל ותיקון הנוסחה (שאלת ביניים · בינונית)
בשאלה זו $n$ ו- $k$ הם מספרים טבעיים.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: זווית בין מיתרים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 1
הראו כי במעגל, הזווית הנוצרת על ידי שני מיתרים שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. כלומר יש להראות:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot2^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ .
סדרות הנדסיות אינסופיות: הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $b_n=a_n\cdot q^{n-1}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה. בבחינה עונים על שלושה מהם.
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים: