מבחן לדוגמה: נפח גוף סיבוב סביב ציר x - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $a$.

הראו כי $f(x)=1-\cos2x$, והסיקו ש-$g(x)=-f(x)$.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את $f(x)$, ואיזה את $g(x)$? נמקו.

חשבו את $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$.

בכמה גדול $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$ מ-$\int_0^{\pi}g(x)\,dx$?

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה $\sqrt{f(x)}$ סביב ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$.

מצאו את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של השטח המוגבל על ידי גרף $f$, ציר ה-$x$ והישר $x=1$.

מצאו את $c>0$ שבעבורו נפח גוף הסיבוב של השטח המוגבל על ידי גרף $f$, ציר ה-$x$ והישר $x=c$ הוא $\frac\pi3$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים, ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-2(x^3+4)}{(x^3-8)^2}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון של $f$.

מצאו את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של השטח המוגבל על ידי גרף $f$, ציר ה-$x$ והאנך לציר ה-$x$ בנקודת הקיצון של $f$.

(היעזרו בכך ש-$\left(\frac{1}{x^3-8}\right)'=\frac{-3x^2}{(x^3-8)^2}$.)

מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים.

מצאו את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

מישור המאונך לציר ה-$x$ בנקודה $x=k$ ($0<k<3$) מחלק את גוף הסיבוב לשני חלקים שנפחיהם שווים. מצאו את $k$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת נקודות הקיצון שלה (באמצעות $a$), וקבעו את סוגן.

השטח המוגבל בין הגרף של $f(x)$ לבין ציר ה-$x$ מסתובב סביב ציר ה-$x$. נפח גוף הסיבוב הוא $\frac{27\pi}{4}$. מצאו את $a$.

הביעו באמצעות $a$: לאילו ערכים של $m$ יש למשוואה $f(x)=m$ שני פתרונות, לאילו פתרון אחד ולאילו אין פתרון.