שאלות פתוחות: נפח גוף סיבוב סביב ציר x - כיתה י"א 5 יח"ל

חישוב נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מסובבים שטח מתחת לגרף של √x או √(2x+1), שטח בין פרבולה לישר y=3, ושטחים של פונקציות עם פרמטר כמו √(x(a-x)), ומחשבים את הנפח. יש גם שאלה טריגונומטרית עם sin² ו-cos². רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או למבחן בפרק האינטגרל, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ואפשרות לייצוא ל-Word.

24 שאלותקלה: 6בינונית: 13קשה: 5

שאלה 1 · נפח גוף סיבוב סביב ציר xשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x(a−x)f(x)=\sqrt{x(a-x)}f(x)=x(a−x)​ בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה וציר ה-xxx מסתובב סביב ציר ה-xxx. נפח גוף הסיבוב שהתקבל הוא 36π36\pi36π.

מצאו את aaa.

שאלה 2 · נפח גוף סיבוב סביב ציר xשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה y=xy=\sqrt{x}y=x​. גוף I נוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישר x=4x=4x=4. גוף II נוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר y=2y=2y=2 וציר ה-yyy.

מצאו את נפח גוף I ואת נפח גוף II.

שאלה 3 · פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון, נפח נתון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xa−xf(x)=x\sqrt{a-x}f(x)=xa−x​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות הקיצון שלה (באמצעות aaa), וקבעו את סוגן.

ב.

השטח המוגבל בין הגרף של f(x)f(x)f(x) לבין ציר ה-xxx מסתובב סביב ציר ה-xxx. נפח גוף הסיבוב הוא 27π4\frac{27\pi}{4}427π​. מצאו את aaa.

ג.

הביעו באמצעות aaa: לאילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m שני פתרונות, לאילו פתרון אחד ולאילו אין פתרון.

שאלה 4 · נפח גוף סיבוב סביב ציר xשאלה קצרה · קלה

בציור שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}f(x)=2x+1​. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=4x=4x=4 (השטח המקווקו) מסתובב סביב ציר ה-xxx.
y=2x+1​
-112345123

מצאו את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

שאלה 5 · נפח גוף סיבוב סביב ציר xשאלה קצרה · בינונית

בציור שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x)=4−x2f(x)=4-x^2f(x)=4−x2 והישר y=3y=3y=3. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה והישר (השטח המקווקו) מסתובב סביב ציר ה-xxx.
y=4−x2y=3
-3-2-11231234

מצאו את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

שאלה 6 · $2 sin^{2} 2 x$ ו- $2 cos^{2} 2 x$ : סימטריה, שטח בין הגרפים והפרש נפחיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡22xf(x)=2\sin^22xf(x)=2sin22x, g(x)=2cos⁡22xg(x)=2\cos^22xg(x)=2cos22x, בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.
fg

א.

בלי לחשב בנפרד את האינטגרלים של fff ושל ggg, מצאו את ∫0π/4f(x) dx\int_0^{\pi/4}f(x)\,dx∫0π/4​f(x)dx. נמקו.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של fff ו-ggg בתחום הנתון.

ג.

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של fff ושל ggg בתחום π8≤x≤3π8\frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}8π​≤x≤83π​.

ד.

נסמן ב-VfV_fVf​ וב-VgV_gVg​ את נפחי הגופים שנוצרים מסיבוב הגרפים של f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ ושל g(x)\sqrt{g(x)}g(x)​ סביב ציר ה-xxx, בתחום 0≤x≤π80\le x\le\frac{\pi}{8}0≤x≤8π​. חשבו את Vg−VfV_g-V_fVg​−Vf​.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xx3−8f(x)=\frac{x}{x^3-8}f(x)=x3−8x​.

א.

סרטטו סקיצה של הפונקציה h(x)=x3−8h(x)=x^3-8h(x)=x3−8, וקבעו לפיה עבור אילו ערכי xxx מתקיים h(x)<0h(x)<0h(x)<0 ועבור אילו h(x)>0h(x)>0h(x)>0.

ב.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים, ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים.

(2)

הראו כי f′(x)=−2(x3+4)(x3−8)2f'(x)=\frac{-2(x^3+4)}{(x^3-8)^2}f′(x)=(x3−8)2−2(x3+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון של fff.

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

מצאו את נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף fff, ציר ה-xxx והאנך לציר ה-xxx בנקודת הקיצון של fff.
(היעזרו בכך ש-(1x3−8)′=−3x2(x3−8)2\left(\frac{1}{x^3-8}\right)'=\frac{-3x^2}{(x^3-8)^2}(x3−81​)′=(x3−8)2−3x2​.)

שאלה 8 · פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה h(x)=ax3+1h(x)=ax^3+1h(x)=ax3+1.

א.

היעזרו בפונקציה y=x3y=x^3y=x3 וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) עבור a>0a>0a>0 ועבור a<0a<0a<0.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=x(ax3+1)2f(x)=\frac{x}{(ax^3+1)^2}f(x)=(ax3+1)2x​, a>0a>0a>0.
ענו על סעיף ב. אם יש צורך הביעו בעזרת aaa.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(2)

כתבו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המקבילות לצירים.

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתון a=1a=1a=1. מהו נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-xxx של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והאנך לציר ה-xxx בנקודת הקיצון של הפונקציה?

שאלה 9 · נפח גוף סיבוב כפונקציה של הגבול העליוןשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡22xf(x)=\sin^22xf(x)=sin22x.

א.

מצאו קבועים AAA, BBB ו-k>0k>0k>0 כך ש-f(x)=A+Bcos⁡kxf(x)=A+B\cos kxf(x)=A+Bcoskx לכל xxx.

ב.

מסובבים סביב ציר ה-xxx את הגרף של y=f(x)y=\sqrt{f(x)}y=f(x)​ בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a (a>0a>0a>0). הביעו באמצעות aaa את נפח גוף הסיבוב V(a)V(a)V(a).

ג.

מצאו את כל ערכי a>0a>0a>0 שעבורם נפח גוף הסיבוב שווה לנפח של גליל שרדיוס בסיסו 12\frac{1}{\sqrt2}2​1​ וגובהו aaa.

שאלה 10 · פונקציית שורש: תחום, קיצון כולל קצה, זיהוי גרף ונפח גוף סיבובשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(4−x)xf(x)=(4-x)\sqrt{x}f(x)=(4−x)x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=4−3x2xf'(x)=\frac{4-3x}{2\sqrt x}f′(x)=2x​4−3x​ (עבור x>0x>0x>0).

ג.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן. בדקו גם את קצה התחום.

ד.

אחד מן הגרפים I ו-II הוא הגרף של f(x)f(x)f(x). קבעו איזה, ונמקו.
גרף I
גרף II

ה.

השטח המוגבל בין הגרף של f(x)f(x)f(x) לבין ציר ה-xxx (בין x=0x=0x=0 ל-x=4x=4x=4) מסתובב סביב ציר ה-xxx. חשבו את נפח גוף הסיבוב.

עוד 10 שאלות על נפח גוף סיבוב סביב ציר x

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נפח גוף סיבוב סביב ציר x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt x}{x^2+1}$ , $x\ge0$ .
פרמטר מנפח גוף סיבוב (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
הפונקציה $2 sin^{2} x$ : זהות, גרף, אינטגרל ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x$ , $g(x)=\cos2x-1$ , בתחום $0\le x\le\pi$ . גרף I: גרף II: גרף III:
ארבע פונקציות שורש: תחום, התאמת גרפים, קיצון כולל קצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות ארבע פונקציות: $f(x)=x\sqrt{x^2-2x}$ , $g(x)=x\sqrt{2x-x^2}$ , $h(x)=x\sqrt{x^2+2x}$ , $k(x)=x\sqrt{-x^2-2x}$ .
גוף סיבוב עם חלל וחלוקתו לשני חלקים שווים בנפחם (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=\sqrt{3x}$ ו- $g(x)=x$ . השטח המוגבל בין שני הגרפים (השטח המקווקו) מסתובב סביב ציר ה- $x$ .
זווית כפולה: מזהות לאינטגרל ולנפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x$ , $g(x)=3-\cos2x$ .
נפח גוף סיבוב סביב ציר x (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{6x-x^2}$ , המוגדרת ב- $0\le x\le6$ . הגרף של $f$ מסתובב סביב ציר ה- $x$ .
הפונקציות $2 cos^{2} 2 x$ ו- $- 3 - 3 cos 4 x$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^2 2x$ , $g(x)=-3-3\cos 4x$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
זהויות טריגונומטריות: זיהוי גרפים, הפרש אינטגרלים ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(\sin x+\cos x)^2$ , $g(x)=2\sin x\cos x-2$ . להלן ארבעה גרפים: גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
נפח גוף סיבוב עד נקודת הקיצון של פונקציה רציונלית (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^3-8}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .
ארבע פונקציות שורש: תחום, התאמת גרפים, קיצון כולל קצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונות ארבע פונקציות: $f(x)=x\sqrt{x^2+x-2}$ , $g(x)=x\sqrt{2-x-x^2}$ , $h(x)=x\sqrt{x^2-8}$ , $k(x)=x\sqrt{8-x^2}$ .
הפונקציות $2 sin^{2} 2 x$ ו- $cos 4 x - 1$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2 2x$ , $g(x)=\cos 4x-1$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
זווית כפולה: זיהוי גרפים, הפרש אינטגרלים ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^22x$ , $g(x)=\cos4x+2$ . להלן ארבעה גרפים: גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד: