מבחן לדוגמה: אינטגרל של 1/xⁿ ושל 1/(2√x) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את הפונקציה הקדומה $F(x)$ של $f(x)$ שמקיימת $F(1)=0$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המקבילות לציר ה-$x$. (היעזרו בכך ש-$\sqrt{x^2}=|x|$.)

הוכיחו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{10}{(x^2+5)^{\frac32}}$, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$, המוגדרת לכל $x\ne0$.

הראו כי $g(x)=\frac14+\frac{5}{4x^2}$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=1$ ו-$x=5$.

חשבו את $S$.

הישר $x=c$, כאשר $1<c<9$, מחלק את השטח $S$ לשני חלקים שווים. מצאו את $c$.

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $h(x)=-f(x)$. שיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $h(x)$ הוא 3.

מצאו את הערך של $k$.

נתונה הפונקציה $g(x)=(f(x))^2$ שתחום הגדרתה זהה לתחום של הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

$a$ הוא פרמטר גדול מ-5.

האם ערך הביטוי $\int_a^{a+1}g(x)dx$ שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי $\int_a^{a+1}f(x)dx$? נמקו את תשובתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=4.5$ ו-$x=9$.

מצאו את $F(x)$.

הוכיחו כי $F(x)\le0$ לכל $x>0$. (הדרכה: סמנו $t=\frac1x$ וכתבו את $F(x)$ באמצעות $t$.)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של $F(x)$, ובדקו אם גרף $F(x)$ חותך אותה. אם כן, מצאו את נקודת החיתוך.

הביעו את $f'(x)$ באמצעות $a$ ו-$n$.

היעזרו בסרטוט וקבעו אם $n$ זוגי או אי-זוגי. נמקו.

נתון: $f(-1)=2$, ושיפוע המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=-1$ הוא $\frac{31}4$.

מצאו את $a$ ואת $n$.

הציבו את הערכים שמצאתם וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $(f(x))^2$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=1$.