דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרש - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרש (טכניקות אינטגרציה), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרש
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אינטגרל של הפרש שתי פונקציותשאלה קצרה · קלה

לפניכם הגרפים של הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2, g(x)=(x+1)2g(x)=(x+1)^2. הפרש הפונקציות הוא f(x)−g(x)=3−6xf(x)-g(x)=3-6x.

-11

קבעו אם הטענה הבאה נכונה, ונמקו את קביעתכם: ∫−11(f(x)−g(x))dx=0\int_{-1}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)dx=0.

שאלה 2 · אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x) ו-g(x)g(x) פונקציות רציפות בקטע [1,4][1,4]. נתון: ∫14(2f(x)−3g(x))dx=11\int_1^4\left(2f(x)-3g(x)\right)dx=11 וכן ∫14(f(x)+g(x))dx=8\int_1^4\left(f(x)+g(x)\right)dx=8.

חשבו את ∫14f(x) dx\int_1^4 f(x)\,dx ואת ∫14g(x) dx\int_1^4 g(x)\,dx.

שאלה 3 · פונקציה קדומה של צירוף לינארי של שתי פונקציותשאלת ביניים · בינונית

הפונקציה F(x)=x3−2x2F(x)=x^3-2x^2 היא פונקציה קדומה של הפונקציה f(x)f(x), והפונקציה G(x)=1xG(x)=\frac1x היא פונקציה קדומה של הפונקציה g(x)g(x) בתחום x>0x>0. נתונה הפונקציה h(x)=2f(x)−3g(x)h(x)=2f(x)-3g(x) בתחום x>0x>0.

א.

בלי לחשב את f(x)f(x) ואת g(x)g(x), מצאו את הפונקציה הקדומה H(x)H(x) של h(x)h(x) שמקיימת H(1)=0H(1)=0.

ב.

חשבו את ∫12h(x) dx\int_1^2 h(x)\,dx.

ג.

היעזרו בסעיף ב וחשבו את ∫12(h(x)+6g(x))dx\int_1^2\left(h(x)+6g(x)\right)dx.

שאלה 4 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינוםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.
(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל nn טבעי: 11⋅3+13⋅5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac n{2n+1}.

(2)

האם הביטוי: 1⋅3+3⋅5+⋯+(2n−1)(2n+1)1\cdot3+3\cdot5+\dots+(2n-1)(2n+1) שווה ל-2n+1n\frac{2n+1}n בעבור כל nn טבעי? נמקו את תשובתכם.

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha.

(1)

הביעו באמצעות α\alpha את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC, ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AKB.

נתון כי היחס שהבעתם בתת-סעיף (1) שווה ל-1, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AKB.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC הוא משולש שווה-צלעות.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה: x=−2x=-2. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-xx היא בנקודה (3,0)(3,0).

(1)

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתון כי הפונקציה g(x)g(x) היא פונקציה זוגית המוגדרת לכל xx. פונקציית הנגזרת g′(x)g'(x) מקיימת: g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x). נתון: g(3)=1g(3)=1.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של הפונקציה g(x)g(x).

(3)

לפניכם שני היגדים I-II. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.

I. g(x)≤1g(x)\le1 לכל xx.

II. שיעור ה-yy של נקודת המינימום של הפונקציה g(x)g(x) הוא בין 1 ל-3.

ד.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x) המוגדרת לכל xx. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x)f(x).

(1)

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x)f(x), נמקו את קביעתכם:

I. f(x)=−x(x+5)(x−6)f(x)=-x(x+5)(x-6)

II. f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)

III. f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)

IV. f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}.

(2)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

נתון: ∫25g(x) dx=k\int_2^5g(x)\,dx=k.

(4)

הביעו באמצעות kk את הערך של: ∫03[3⋅g(x+2)−2]dx\int_0^3\left[3\cdot g(x+2)-2\right]dx.

שאלה 5 · אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרששאלה קצרה · קשה

f(x)f(x) היא פונקציה רציפה, וידוע כי לכל a>0a>0 מתקיים ∫0af(x) dx=a2+a\int_0^a f(x)\,dx=a^2+a.

א.

חשבו את ∫13(2f(x)−1)dx\int_1^3\left(2f(x)-1\right)dx.

ב.

מצאו את b>1b>1 שעבורו ∫1b(2f(x)−1)dx=42\int_1^b\left(2f(x)-1\right)dx=42.

שאלה 6 · צירוף לינארי של שתי פונקציות ואינטגרלים נתונים בקטעים סמוכיםשאלת ביניים · קשה

f(x)f(x) ו-g(x)g(x) הן פונקציות רציפות לכל xx. לכל שני מספרים mm ו-nn מגדירים h(x)=m⋅f(x)+n⋅g(x)h(x)=m\cdot f(x)+n\cdot g(x). נתון:

∫02f(x) dx=3,∫02g(x) dx=−1,∫25f(x) dx=4,∫25g(x) dx=2\int_0^2 f(x)\,dx=3,\quad \int_0^2 g(x)\,dx=-1,\quad \int_2^5 f(x)\,dx=4,\quad \int_2^5 g(x)\,dx=2
א.

הביעו באמצעות mm ו-nn את ∫02h(x) dx\int_0^2 h(x)\,dx ואת ∫05h(x) dx\int_0^5 h(x)\,dx.

ב.

מצאו את mm ואת nn שעבורם ∫02h(x) dx=0\int_0^2 h(x)\,dx=0 וגם ∫05h(x) dx=20\int_0^5 h(x)\,dx=20.

ג.

עבור mm ו-nn שמצאתם, חשבו את ∫25(h(x)−4x)dx\int_2^5\left(h(x)-4x\right)dx.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.