שאלות פתוחות: אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרש - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרש, לכיתה י"א ברמת 5 יחידות. השאלות משתמשות בתכונות הליניאריות של האינטגרל: נתונים אינטגרלים של צירופים של f ו-g ומוצאים כל אחד בנפרד, מחשבים אינטגרל של הפרש בין שתי פרבולות, ומטפלים באינטגרל עם פרמטר m שבוחנים אותו כפונקציה של m. רוב השאלות בינוניות. מתאים להבנת כללי האינטגרציה מעבר לחישוב; ניתן לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · אינטגרל של הפרש שתי פונקציותשאלה קצרה · קלה

לפניכם הגרפים של הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2f(x)=(x−2)2, g(x)=(x+1)2g(x)=(x+1)^2g(x)=(x+1)2. הפרש הפונקציות הוא f(x)−g(x)=3−6xf(x)-g(x)=3-6xf(x)−g(x)=3−6x.
f(x)g(x)
-11

קבעו אם הטענה הבאה נכונה, ונמקו את קביעתכם: ∫−11(f(x)−g(x))dx=0\int_{-1}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)dx=0∫−11​(f(x)−g(x))dx=0.

שאלה 2 · אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x2−2mx+1f(x)=3x^2-2mx+1f(x)=3x2−2mx+1, כאשר mmm פרמטר. לכל ערך של mmm מגדירים: I(m)=∫−12(f(x)−m⋅f′(x))dxI(m)=\int_{-1}^{2}\left(f(x)-m\cdot f'(x)\right)dxI(m)=∫−12​(f(x)−m⋅f′(x))dx.

א.

הביעו את I(m)I(m)I(m) באמצעות mmm.

ב.

מצאו את ערך mmm שעבורו I(m)I(m)I(m) מינימלי, ואת הערך המינימלי.

שאלה 3 · אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרששאלה קצרה · קשה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה רציפה, וידוע כי לכל a>0a>0a>0 מתקיים ∫0af(x) dx=a2+a\int_0^a f(x)\,dx=a^2+a∫0a​f(x)dx=a2+a.

א.

חשבו את ∫13(2f(x)−1)dx\int_1^3\left(2f(x)-1\right)dx∫13​(2f(x)−1)dx.

ב.

מצאו את b>1b>1b>1 שעבורו ∫1b(2f(x)−1)dx=42\int_1^b\left(2f(x)-1\right)dx=42∫1b​(2f(x)−1)dx=42.

שאלה 4 · אינטגרל של כפל בקבוע, סכום והפרששאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) פונקציות רציפות בקטע [1,4][1,4][1,4]. נתון: ∫14(2f(x)−3g(x))dx=11\int_1^4\left(2f(x)-3g(x)\right)dx=11∫14​(2f(x)−3g(x))dx=11 וכן ∫14(f(x)+g(x))dx=8\int_1^4\left(f(x)+g(x)\right)dx=8∫14​(f(x)+g(x))dx=8.

חשבו את ∫14f(x) dx\int_1^4 f(x)\,dx∫14​f(x)dx ואת ∫14g(x) dx\int_1^4 g(x)\,dx∫14​g(x)dx.

שאלה 5 · צירוף לינארי של שתי פונקציות ואינטגרלים נתונים בקטעים סמוכיםשאלת ביניים · קשה

f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) הן פונקציות רציפות לכל xxx. לכל שני מספרים mmm ו-nnn מגדירים h(x)=m⋅f(x)+n⋅g(x)h(x)=m\cdot f(x)+n\cdot g(x)h(x)=m⋅f(x)+n⋅g(x). נתון:
∫02f(x) dx=3,∫02g(x) dx=−1,∫25f(x) dx=4,∫25g(x) dx=2\int_0^2 f(x)\,dx=3,\quad \int_0^2 g(x)\,dx=-1,\quad \int_2^5 f(x)\,dx=4,\quad \int_2^5 g(x)\,dx=2∫02​f(x)dx=3,∫02​g(x)dx=−1,∫25​f(x)dx=4,∫25​g(x)dx=2

א.

הביעו באמצעות mmm ו-nnn את ∫02h(x) dx\int_0^2 h(x)\,dx∫02​h(x)dx ואת ∫05h(x) dx\int_0^5 h(x)\,dx∫05​h(x)dx.

ב.

מצאו את mmm ואת nnn שעבורם ∫02h(x) dx=0\int_0^2 h(x)\,dx=0∫02​h(x)dx=0 וגם ∫05h(x) dx=20\int_0^5 h(x)\,dx=20∫05​h(x)dx=20.

ג.

עבור mmm ו-nnn שמצאתם, חשבו את ∫25(h(x)−4x)dx\int_2^5\left(h(x)-4x\right)dx∫25​(h(x)−4x)dx.

שאלה 6 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינוםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל nnn טבעי: 11⋅3+13⋅5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\dots+\frac1{(2n-1)(2n+1)}=\frac n{2n+1}1⋅31​+3⋅51​+⋯+(2n−1)(2n+1)1​=2n+1n​.

(2)

האם הביטוי: 1⋅3+3⋅5+⋯+(2n−1)(2n+1)1\cdot3+3\cdot5+\dots+(2n-1)(2n+1)1⋅3+3⋅5+⋯+(2n−1)(2n+1) שווה ל-2n+1n\frac{2n+1}nn2n+1​ בעבור כל nnn טבעי? נמקו את תשובתכם.

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC, ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AKB.

נתון כי היחס שהבעתם בתת-סעיף (1) שווה ל-1, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AKB.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC הוא משולש שווה-צלעות.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה: x=−2x=-2x=−2. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx היא בנקודה (3,0)(3,0)(3,0).

(1)

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

נתון כי הפונקציה g(x)g(x)g(x) היא פונקציה זוגית המוגדרת לכל xxx. פונקציית הנגזרת g′(x)g'(x)g′(x) מקיימת: g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x). נתון: g(3)=1g(3)=1g(3)=1.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

לפניכם שני היגדים I-II. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.
I. g(x)≤1g(x)\le1g(x)≤1 לכל xxx.
II. שיעור ה-yyy של נקודת המינימום של הפונקציה g(x)g(x)g(x) הוא בין 1 ל-3.

ד.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x).
f(x)

(1)

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x)f(x)f(x), נמקו את קביעתכם:
I. f(x)=−x(x+5)(x−6)f(x)=-x(x+5)(x-6)f(x)=−x(x+5)(x−6)
II. f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
III. f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)f(x)=(x+5)(x+1)(x−2)(x−6)
IV. f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)f(x)=−(x+5)(x−1)(x−2)(x−6)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

(2)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

נתון: ∫25g(x) dx=k\int_2^5g(x)\,dx=k∫25​g(x)dx=k.

(4)

הביעו באמצעות kkk את הערך של: ∫03[3⋅g(x+2)−2]dx\int_0^3\left[3\cdot g(x+2)-2\right]dx∫03​[3⋅g(x+2)−2]dx.

שאלה 7 · פונקציה קדומה של צירוף לינארי של שתי פונקציותשאלת ביניים · בינונית

הפונקציה F(x)=x3−2x2F(x)=x^3-2x^2F(x)=x3−2x2 היא פונקציה קדומה של הפונקציה f(x)f(x)f(x), והפונקציה G(x)=1xG(x)=\frac1xG(x)=x1​ היא פונקציה קדומה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) בתחום x>0x>0x>0. נתונה הפונקציה h(x)=2f(x)−3g(x)h(x)=2f(x)-3g(x)h(x)=2f(x)−3g(x) בתחום x>0x>0x>0.

א.

בלי לחשב את f(x)f(x)f(x) ואת g(x)g(x)g(x), מצאו את הפונקציה הקדומה H(x)H(x)H(x) של h(x)h(x)h(x) שמקיימת H(1)=0H(1)=0H(1)=0.

ב.

חשבו את ∫12h(x) dx\int_1^2 h(x)\,dx∫12​h(x)dx.

ג.

היעזרו בסעיף ב וחשבו את ∫12(h(x)+6g(x))dx\int_1^2\left(h(x)+6g(x)\right)dx∫12​(h(x)+6g(x))dx.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .