מבחן לדוגמה: אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית - כיתה י"א 5 יח"ל

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$. נסמן: $\angle ACB=\alpha$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה $x=1$, ו-$f(2)=0$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)-1$, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=0$. מצאו את הערך של $a$.

הציבו $a=4$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(1,3)$. כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ג מתאר את $g(x)$ בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

מצאו את משוואת המשיק.

מצאו את $f(x)$ וחשבו את $f(1)$.

מצאו את תחומי ההגדרה של שתי הפונקציות ואת נקודת החיתוך של הגרפים.

חשבו את השטח המסומן.

הוכיחו כי לכל $a>0$ מתקיים $\int_0^a(2x-a)^3\,dx=0$.

מצאו את $a$ שעבורו $\int_0^a(2x-a)^2\,dx=9$.

הביעו באמצעות $a$ את $\int_0^1 f(x)\,dx$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם $\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{7}{3}$.

מצאו את ערך הפרמטר $a$ שעבורו הערך של $\int_0^1 f(x)\,dx$ הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר.