שאלות פתוחות: אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית בה ליניארית, כמו (ax+1)² או 3/√(2x+1), לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים פונקציה קדומה ומשתמשים בנקודה על הגרף או במשיק שעובר בראשית כדי למצוא את הקבוע, ומחשבים אינטגרלים עם פרמטר כמו a/(x-2)². רוב השאלות קלות ובינוניות. אפשר לבחור מכאן שאלות לתרגול בכיתה, לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ונשמרת בקובץ Word.

21 שאלותקלה: 8בינונית: 11קשה: 2

שאלה 1 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה F(x)F(x)F(x) המוגדרת בתחום x>−12x>-\frac{1}{2}x>−21​, ונגזרתה היא F′(x)=32x+1F'(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}}F′(x)=2x+1​3​. גרף הפונקציה עובר בנקודה (4,15)(4,15)(4,15).

א.

מצאו את F(x)F(x)F(x).

ב.

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה F(x)=21F(x)=21F(x)=21.

שאלה 2 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

a≠0a\ne0a=0 הוא פרמטר. נתונה הפונקציה f(x)=(ax+1)2f(x)=(ax+1)^2f(x)=(ax+1)2.

א.

הביעו באמצעות aaa את ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx∫01​f(x)dx.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם ∫01f(x) dx=73\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{7}{3}∫01​f(x)dx=37​.

שאלה 3 · אינטגרל של חזקה עם פנימית לינארית ופרמטרשאלה קצרה · קשה

a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

הוכיחו כי לכל a>0a>0a>0 מתקיים ∫0a(2x−a)3 dx=0\int_0^a(2x-a)^3\,dx=0∫0a​(2x−a)3dx=0.

ב.

מצאו את aaa שעבורו ∫0a(2x−a)2 dx=9\int_0^a(2x-a)^2\,dx=9∫0a​(2x−a)2dx=9.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}31⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n2 לכל nnn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circα=30∘.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המוגדרת לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k∫69​g(x)dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kkk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx∫47​g(x+2)dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx∫47​[g(x+2)+2]dx.

שאלה 5 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

נגזרת הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=(2x−3)2f'(x)=(2x-3)^2f′(x)=(2x−3)2. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x=2x=2 עובר בראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת המשיק.

ב.

מצאו את f(x)f(x)f(x) וחשבו את f(1)f(1)f(1).

שאלה 6 · אינטגרל של (ax+1)² כפונקציה של הפרמטרשאלת ביניים · קשה

a≠0a\ne0a=0 הוא פרמטר. נתונה הפונקציה f(x)=(ax+1)2f(x)=(ax+1)^2f(x)=(ax+1)2.

א.

הביעו באמצעות aaa את ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx∫01​f(x)dx.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם ∫01f(x) dx=73\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{7}{3}∫01​f(x)dx=37​.

ג.

מצאו את ערך הפרמטר aaa שעבורו הערך של ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx∫01​f(x)dx הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=a(x−2)2f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}f(x)=(x−2)2a​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) שפונקציית הנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)−1g'(x)=f(x)-1g′(x)=f(x)−1, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=0x=0x=0. מצאו את הערך של aaa.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עובר בנקודה (1,3)(1,3)(1,3). כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ג מתאר את g(x)g(x)g(x) בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

שאלה 8 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה רציפה, ונתון כי ∫04f(x) dx=10\int_0^4 f(x)\,dx=10∫04​f(x)dx=10.

א.

חשבו את ∫15f(x−1) dx\int_1^5 f(x-1)\,dx∫15​f(x−1)dx.

ב.

חשבו את ∫02(3f(2x)+1)dx\int_0^2\left(3f(2x)+1\right)dx∫02​(3f(2x)+1)dx.

שאלה 9 · פונקציה קדומה של שורש עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה F(x)F(x)F(x) המוגדרת בתחום x>−12x>-\frac{1}{2}x>−21​, ונגזרתה היא F′(x)=32x+1F'(x)=\frac{3}{\sqrt{2x+1}}F′(x)=2x+1​3​. גרף הפונקציה עובר בנקודה (4,15)(4,15)(4,15).

מצאו את F(x)F(x)F(x).

שאלה 10 · אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינאריתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1}f(x)=2x+1​ ו-g(x)=17−2xg(x)=\sqrt{17-2x}g(x)=17−2x​. בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות, והשטח המוגבל על ידי שני הגרפים ועל ידי ציר ה-xxx מסומן.
y=2x+1​y=17−2x​
(הדרכה: הנגזרת של (2x+1)2x+1(2x+1)\sqrt{2x+1}(2x+1)2x+1​ היא 32x+13\sqrt{2x+1}32x+1​, והנגזרת של (17−2x)17−2x(17-2x)\sqrt{17-2x}(17−2x)17−2x​ היא −317−2x-3\sqrt{17-2x}−317−2x​.)

א.

מצאו את תחומי ההגדרה של שתי הפונקציות ואת נקודת החיתוך של הגרפים.

ב.

חשבו את השטח המסומן.

עוד 4 שאלות על אינטגרל של פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
אינטגרל של פונקציה מוזזת כפול קבוע פחות קבוע (שאלה קצרה · בינונית)
$g(x)$ היא פונקציה רציפה בקטע $2\le x\le5$ .
פונקציה שנגזרתה (2x−3)² ומשיקים לגרף שלה (שאלת ביניים · בינונית)
נגזרת הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=(2x-3)^2$ . המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=2$ עובר בראשית הצירים.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה שלישית עם פרמטר: שטח ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3a^2x+2a^3$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
שטח בין גרפים של שתי פונקציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{4}{(x+2)^2}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x+1)^2$ , $g(x)=\frac{16}{f(x)}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-a)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , $a>1$ הוא פרמטר.