מבחן לדוגמה: אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הוכיחו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

קבעו לאן שואפת $f(x)$ כאשר $x\to2^-$, כאשר $x\to2^+$, כאשר $x\to-2^-$ וכאשר $x\to-2^+$, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-1$, $x=1$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-4$ היא $2x$.)

נתון השוויון $4+16+36+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, שבו $n$ הוא מספר טבעי זוגי.

במועדון קוראים בדקו אילו ספרים שאלו החברים: חלק מהחברים שאלו רומן, חלק שאלו ספר קומיקס, חלק שאלו את שניהם, וחלק לא שאלו אף אחד מהם. 12% מן החברים שאלו רק רומן. מספר החברים ששאלו רק רומן קטן פי 3 ממספר החברים ששאלו גם רומן וגם ספר קומיקס. $\frac45$ מן החברים ששאלו ספר קומיקס, שאלו גם רומן. בוחרים באקראי חבר מועדון.

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$, $g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x}$, $h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$.

נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ ו-$g(x)=f^2(x)\cdot f'(x)$.

הראו כי הנגזרת של הפונקציה $h(x)=\frac{-3}{x^2+1}$ היא $f(x)$.

מצאו את $g(x)$.

מצאו את נקודת הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגה, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של $g(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+1$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ושל פונקציית הנגזרת $g'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-1$.

מצאו את הערך של $a$.

כתבו ביטוי אלגברי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

לפניכם ארבעה גרפים, I-IV:

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם הוא גרף אפשרי של הפונקציה $g(x)$. נמקו את קביעתכם.

מצאו את $F(x)$, ומצאו את ערך המקסימום המקומי של $F(x)$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

חשבו את $\int_0^2 x\cdot g\left(x^2+1\right)dx$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2+1$ היא $2x$.)

חשבו את $\int_{-2}^{2} x\cdot g\left(x^2+1\right)dx$. נמקו.