שאלות פתוחות: אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית לכיתה י"א, 5 יחידות - הטכניקה שמאפשרת לחשב אינטגרלים כמו x√(x²+4) ו-2x/(x²-4)². בשאלות מוצאים פונקציה קדומה, מחשבים שטח שמתואר בסרטוט, מוצאים פרמטר כשהערך המינימלי של הקדומה נתון, ומטפלים במכנים כמו (x²-2x+2)². יש מבחר גדול, רובו בינוני, עם לא מעט שאלות קשות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, כשכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

82 שאלותקלה: 17בינונית: 51קשה: 14

שאלה 1 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=x\sqrt{x^2+4}f(x)=xx2+4​. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה, והשטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xxx והישר x=5x=\sqrt{5}x=5​ מסומן.
-0.50.51.01.52.02.53.02468

חשבו את השטח המסומן. (הדרכה: הנגזרת של x2+4x^2+4x2+4 היא 2x2x2x.)

שאלה 2 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · בינונית

a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה הפונקציה f(x)=xx2+9f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}f(x)=x2+9​x​.

א.

הביעו באמצעות aaa את ∫0af(x) dx\int_0^a f(x)\,dx∫0a​f(x)dx. (הדרכה: הנגזרת של x2+9x^2+9x2+9 היא 2x2x2x.)

ב.

מצאו את aaa שעבורו ∫0af(x) dx=2\int_0^a f(x)\,dx=2∫0a​f(x)dx=2.

שאלה 3 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · קשה

F(x)F(x)F(x) היא פונקציה קדומה של f(x)=x(x2−1)3f(x)=x\left(x^2-1\right)^3f(x)=x(x2−1)3. ידוע כי הערך המינימלי של הפונקציה F(x)F(x)F(x) הוא 222.

מצאו את F(x)F(x)F(x), ומצאו את ערך המקסימום המקומי של F(x)F(x)F(x). (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

שאלה 4 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 5 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x−1(x2−2x+2)2f(x)=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+2\right)^2}f(x)=(x2−2x+2)2x−1​. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה, והשטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=3x=3x=3 מסומן.
y=f(x)
-11234-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.10.20.30.40.5

א.

חשבו את ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx∫03​f(x)dx. (הדרכה: הנגזרת של x2−2x+2x^2-2x+2x2−2x+2 היא 2x−22x-22x−2.)

ב.

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 6 · אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))שאלה קצרה · קשה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה רציפה, ו-G(x)G(x)G(x) היא פונקציה קדומה שלה. ידוע כי G(1)=3G(1)=3G(1)=3 ו-G(5)=7G(5)=7G(5)=7.

א.

חשבו את ∫02x⋅g(x2+1)dx\int_0^2 x\cdot g\left(x^2+1\right)dx∫02​x⋅g(x2+1)dx. (הדרכה: הנגזרת של x2+1x^2+1x2+1 היא 2x2x2x.)

ב.

חשבו את ∫−22x⋅g(x2+1)dx\int_{-2}^{2} x\cdot g\left(x^2+1\right)dx∫−22​x⋅g(x2+1)dx. נמקו.

שאלה 7 · חקירה מודרכת של $\frac{c o s x}{2 s i n x - 1}$ ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x)−1f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-1}}f(x)=2sin(x)−1​cos(x)​. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי f′(x)=−sin⁡2x−sin⁡x+1(2sin⁡x−1)2sin⁡x−1f'(x)=-\frac{\sin^2x-\sin x+1}{(2\sin x-1)\sqrt{2\sin x-1}}f′(x)=−(2sinx−1)2sinx−1​sin2x−sinx+1​, והסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-xxx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

הראו כי F(x)=2sin⁡x−1F(x)=\sqrt{2\sin x-1}F(x)=2sinx−1​ היא פונקציה קדומה של f(x)f(x)f(x), וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישר x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​.

שאלה 8 · שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונות הפונקציות: g(x)=4x3(x4−1)3g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}g(x)=(x4−1)34x3​, f(x)=4x3(x4−1)2f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}f(x)=(x4−1)24x3​.

א.

ענו על תת-סעיפים (1)-(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

(4)

הוכיחו כי הפונקציה היא אי-זוגית.

ב.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x).

(1)

קבעו איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמקו את קביעתכם.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

ג.

נתונה פונקציה h(x)h(x)h(x) המקיימת: h′(x)=g(x)h'(x)=g(x)h′(x)=g(x). g(x)g(x)g(x) ו-h(x)h(x)h(x) מוגדרות באותו תחום.

מה הם תחומי העלייה והירידה של h(x)h(x)h(x)?

ד.

(1)

חשבו את ∫−1212f(x) dx\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx∫−2​1​2​1​​f(x)dx. נמקו את תשובתכם.

(2)

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים: x=−12x=-\frac{1}{\sqrt2}x=−2​1​, x=12x=\frac{1}{\sqrt2}x=2​1​. (הדרכה: הנגזרת של x4−1x^4-1x4−1 היא 4x34x^34x3.)

ה.

נתונה הפונקציה: k(x)=f(x−b)k(x)=f(x-b)k(x)=f(x−b), b≠0b\neq0b=0 הוא פרמטר.

האם הפונקציה k(x)k(x)k(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · משפחת הפונקציות $\frac{c o s x}{s i n x + k}$ : קיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)+kf(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+k}}f(x)=sin(x)+k​cos(x)​, כאשר k>1k>1k>1 הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת בכל התחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, ומצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ב.

הוכיחו כי לכל k>1k>1k>1 יש ל-f(x)f(x)f(x) בדיוק שתי נקודות קיצון בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, ושתיהן בתחום π<x<2π\pi<x<2\piπ<x<2π.

ג.

נתון כי x=7π6x=\frac{7\pi}{6}x=67π​ היא נקודת קיצון של f(x)f(x)f(x).

מצאו את kkk, ומצאו את שיעורי שתי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π וקבעו את סוגן.

ד.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2πx=2\pix=2π.

שאלה 10 · הפונקציה $x - \frac{4}{x}$ : מונוטוניות, אפסים של $f \cdot f^{'}$ ושטח בעזרת $\frac{1}{2} f^{2}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x−4xf(x)=x-\frac4xf(x)=x−x4​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והראו ש-f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0, ושאין לה נקודות קיצון.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

מצאו את נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

ג.

(1)

הראו שהפונקציה G(x)=12f2(x)G(x)=\frac12f^2(x)G(x)=21​f2(x) היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=∫2xf′(t)dth(x)=\int_2^x f'(t)dth(x)=∫2x​f′(t)dt, המוגדרת בתחום x≥2x\ge2x≥2.

הראו ש-h(x)=f(x)h(x)=f(x)h(x)=f(x) בתחום ההגדרה של hhh, ומצאו את נקודת הקיצון של h(x)h(x)h(x) וקבעו את סוגה.

עוד 54 שאלות על אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x))

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(-b)=0$ , $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
המשפחה $x + \frac{k}{x}$ : שטח של $f \cdot f^{'}$ כביטוי בפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac kx$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$ , המוגדרת באותו התחום כמו $f(x)$ .
פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה, מונוטוניות לפי סימן המכנה, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=x^3(x^4-a)^2$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
משפחה של פונקציות רציונליות: מיון לפי סימן הפרמטר, שטח עם שני פתרונות ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2+m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת שלה: מונוטוניות, קעירות ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{9x}{(x^2-4)^2}$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לגרף $f'(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד,…
חקירת $\frac{s i n x}{1 - 2 c o s x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
מגרף הנגזרת למספר הפתרונות, וסימן הפרמטר מתוך שטח של $f^{'} \cdot f$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה וקעירות של הפונקציה הקדומה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{(x^2-9)^2}$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4\cos x}}$ בתחום $0\le x\le\pi$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: הקדומה, מספר פתרונות ושטח כבעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8x}{(x^2-a)^3}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g'(x)=f(x)$ , שגרפה עובר בנקודה $(0,0)$ ,…
מנה טריגונומטרית: זוגיות, נגזרת מודרכת, קיצון בתחום סגור ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
פונקציה שנגזרתה $f (x) + m$ : מספר נקודות הקיצון לפי הפרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+m$ , כאשר $m$ הוא פרמטר. תחום…
פונקציית שורש יורדת כנגזרת של $\frac{x}{x + 2}$ : קיצון בקצה, משיקים ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x+4}{2(\sqrt x+2)^2}$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\left(x^2+\frac2x\right)\left(2x-\frac{2}{x^2}\right)$ בתחום $x>0$ .
משפחת פונקציות רציונליות מתוך הנגזרת: מיון לפי סימן הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x}{(x^2+k)^4}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $k$ הוא פרמטר שונה מאפס. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהטענה נכונה עבור $n=1$ ועבור $n=2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $f (x) = m$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של שורש, $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
בדקו כי השוויון מתקיים בעבור $n=2$ ובעבור $n=4$ .
מגרף נגזרת שלילית לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
משפחת הפונקציות $\frac{3 ( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ : מספר הפתרונות של $f (x) = 4$ ושטח כפונקציה של $a$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3(x+2)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: מונוטוניות, אינטגרל מודרך ונקודת אי-רציפות סליקה (שאלה מלאה · קלה)
נתון כי $f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום.
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+2}{x}$ , ונתונה הפונקציה $h(x)=f'(x)\cdot(f(x))^3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-a)^2}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
משפחה $\frac{s i n x}{c o s x - a}$ : מתי יש אסימפטוטות, מתי הפונקציה עולה, וקיצון בקצוות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x-a}}$ , כאשר $a<1$ פרמטר. ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציה רציונלית בלי פרמטר: קיצון, סקיצה ושטח של $g \cdot g^{'}$ בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{10x}{(x^2+4)^3}$ .
פונקציה קדומה עם פרמטר של 3x²/(x³−a)²: קעירות, ביטוי וסקיצה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה מוגדרת בתחום $x\ne\sqrt[3]{a}$ , והיא עולה בתחומים…
חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^3-8}$ .
חקירת $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ כנגזרת של $\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-1)^3}$ .
פונקציה קדומה של 4x/(x²−9)² העוברת בראשית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{(x^2-9)^2}$ .
משפחת הפונקציות $\frac{x + k}{x}$ : משיקים לפי שיפוע, משיק בנקודת פיתול ואינטגרל שמתאפס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x+k}{\sqrt x}$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר. נסמן $f(x)=g'(x)$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $q(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}$ המוגדרת לכל $x\ge0$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז בר-חסימה, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$ .
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x^2}{(x^3+1)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne-1$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ואנך אמצעי, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$ .
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $a$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x^2}{(x^3-a^3)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
אינטגרל של מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית: f'(x)·g(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{6x}{(x^2+5)^2}$ , ולפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y=2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3+1$ .
פונקציית שורש: משיק, אסימפטוטות, שטח עם משיק וטרנספורמציות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $g(x)=\sqrt{x^2-4}$ .
מציאת פונקציה קדומה בעזרת גזירה של פונקציה מורכבת (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. לפונקציה $f(x)$ …
פונקציה קדומה של 6x/(x²+1)², נקודת הקיצון והאסימפטוטה שלה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$ , וגרף $g(x)$ עובר דרך הנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
מגרף הנגזרת לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 6
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
חקירת $\frac{c o s x}{s i n x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
חקירת $\frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ כנגזרת של $\frac{2 x}{x - 2}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-4}{(\sqrt x-2)^2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2+4^2+6^2+8^2+\ldots+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 6
נתון כי $f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-a^2)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א-ג…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח מתחת ל- $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6(x-1)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .
פונקציית שורש: משיק, אסימפטוטות שונות באינסופים, שטח עם משיק וטרנספורמציות · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונה הפונקציה: $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ .