מבחן לדוגמה: מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרף - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון גם $f(0)=0$. מצאו את $f(x)$.

נתון הסכום:

בתנועת נוער 80% מן החניכים משתתפים בטיולים, ו-45% מן החניכים משתתפים במחנה הקיץ.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, $y=0$, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$, $(6,0)$. נקודות הקיצון של $f(x)$ הן $(2,4)$ ו-$(8,-2)$, והן מסומנות בסרטוט.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}$, המוגדרת לכל $x$. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$, וגרף $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1)$.

מצאו את $g(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה המקיימת: $g'(x)=f(x)$. גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(0,0)$. הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה $g(x)$.

$h(x)$ היא פונקציה המוגדרת כך: $h(x)=f(x)\cdot g(x)$. הפונקציות $f(x)$ ו-$h(x)$ מוגדרות באותו התחום.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+1$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ ושל פונקציית הנגזרת $g'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-1$.

מצאו את הערך של $a$.

כתבו ביטוי אלגברי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

לפניכם ארבעה גרפים, I-IV:

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שלפניכם הוא גרף אפשרי של הפונקציה $g(x)$. נמקו את קביעתכם.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן.

מצאו את נקודות הפיתול של $f(x)$ (שיעורי $x$), והביעו באמצעות $k$ את שיפוע המשיק בכל אחת מהן.

נתון גם $f(0)=0$. מצאו את $f(x)$.

הביעו באמצעות $k$: לאילו ערכים של $m$ יש למשוואה $f(x)=m$ שני פתרונות, לאילו פתרון אחד, ולאילו אין פתרון.