שאלות פתוחות: מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרף - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מציאת פונקציה לפי הנגזרת שלה ונקודה על הגרף, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות נתונה הנגזרת, למשל 3x²-3, וידוע ערך המקסימום המקומי, נתונה נגזרת עם פרמטר והמשיק בנקודה מסוימת, או נתון גרף של f' ונקודה על f - וצריך למצוא את הפונקציה במלואה. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. מתאים לבוחן או לדף עבודה; כל שאלה מגיעה עם פתרון מפורט, ואת הבחירה אפשר לייצא ל-Word.

28 שאלותקלה: 7בינונית: 16קשה: 5

שאלה 1 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרףשאלה קצרה · קלה

נגזרת הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3f′(x)=3x2−3. ערך המקסימום המקומי של הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא 666.

מצאו את f(x)f(x)f(x) ואת ערך המינימום המקומי של הפונקציה.

שאלה 2 · אינטגרל של פולינוםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x): f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9f′(x)=3x2−6x−9. בציור שלפניכם מתואר גרף הנגזרת y=f′(x)y=f'(x)y=f′(x). ידוע כי ערך הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודת המינימום המקומי שלה הוא 222.
y=f′(x)
-3-2-112345-10-551015

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את ערך המקסימום המקומי של הפונקציה.

שאלה 3 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרףשאלה קצרה · קשה

נגזרת הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=3x2+af'(x)=3x^2+af′(x)=3x2+a, כאשר aaa פרמטר. גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים, והמשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1x=1 עובר בנקודה (2,6)(2,6)(2,6).

מצאו את f(x)f(x)f(x).

שאלה 4 · פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה וקעירות של הפונקציה הקדומהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=4x(x2−9)2f(x)=\frac{4x}{(x^2-9)^2}f(x)=(x2−9)24x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−12(x2+3)(x2−9)3f'(x)=\frac{-12(x^2+3)}{(x^2-9)^3}f′(x)=(x2−9)3−12(x2+3)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x), וגרפה עובר בנקודה (0,0)(0,0)(0,0). מצאו את g(x)g(x)g(x). (הדרכה: 4x=2⋅2x4x=2\cdot2x4x=2⋅2x, ו-2x2x2x היא הנגזרת של x2−9x^2-9x2−9.)

ה.

היעזרו בסעיף ב, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של g(x)g(x)g(x).

שאלה 5 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרףשאלה קצרה · בינונית

נגזרת הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=3x2+2axf'(x)=3x^2+2axf′(x)=3x2+2ax, כאשר aaa קבוע. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון שבה x=2x=2x=2, וגרף הפונקציה עובר בנקודה (1,4)(1,4)(1,4).

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 6 · פונקציה שנגזרתה $f (x) + m$ : מספר נקודות הקיצון לפי הפרמטר ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=6x(x2−1)2f(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}f(x)=(x2−1)26x​. נתונה גם הפונקציה g(x)g(x)g(x) שפונקציית הנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)+mg'(x)=f(x)+mg′(x)=f(x)+m, כאשר mmm הוא פרמטר. תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ושל g′(x)g'(x)g′(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה. מצאו גם את קבוצת הערכים ש-f(x)f(x)f(x) מקבלת בכל אחד מהתחומים x<−1x<-1x<−1, −1<x<1-1<x<1−1<x<1 ו-x>1x>1x>1.

ב.

קבעו, בהתאם לערכי mmm, כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג.

נתון כי לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=2x=2x=2. מצאו את mmm וקבעו את סוג הקיצון ב-x=2x=2x=2. באיזה קטע נמצאת נקודת הקיצון הנוספת של g(x)g(x)g(x), ומה סוגה?

ד.

הציבו m=−43m=-\frac43m=−34​. נתון כי g(2)=−1g(2)=-1g(2)=−1.

מצאו ביטוי ל-g(x)g(x)g(x) בתחום x>1x>1x>1, וקבעו לכל ערך של ccc כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=cg(x)=cg(x)=c בתחום x>1x>1x>1.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=a(x−2)2f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}f(x)=(x−2)2a​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) שפונקציית הנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)−1g'(x)=f(x)-1g′(x)=f(x)−1, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=0x=0x=0. מצאו את הערך של aaa.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עובר בנקודה (1,3)(1,3)(1,3). כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ג מתאר את g(x)g(x)g(x) בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

שאלה 8 · מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרףשאלה קצרה · בינונית

נגזרת הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=kx2−6x+1f'(x)=kx^2-6x+1f′(x)=kx2−6x+1, כאשר kkk קבוע. לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת פיתול שבה x=1x=1x=1, והגרף עובר בנקודה (2,3)(2,3)(2,3).

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול.

שאלה 9 · משפחת פונקציות רציונליות מתוך הנגזרת: מיון לפי סימן הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתון כי f′(x)=−6x(x2+k)4f'(x)=\frac{-6x}{(x^2+k)^4}f′(x)=(x2+k)4−6x​ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x). kkk הוא פרמטר שונה מאפס. הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות באותו התחום.

א.

מצאו, לפי ערכי kkk, את תחום ההגדרה של f′(x)f'(x)f′(x) ואת תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ב.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y=0y=0y=0.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ג.

נתון כי לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטות אנכיות, וכי שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא −38-\frac38−83​.

מצאו את kkk.

ד.

הציבו k=−3k=-3k=−3.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לפי ערכי הפרמטר mmm.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: מונוטוניות, אינטגרל מודרך ונקודת אי-רציפות סליקהשאלה מלאה · קלה

נתון כי f′(x)=8x(x2−4)3f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)38x​ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x). הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרות באותו התחום.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x), והראו כי ל-f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד. קבעו את סוגה.

ג.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y=1y=1y=1.

גזרו את הפונקציה 1(x2−4)2\frac{1}{(x^2-4)^2}(x2−4)21​, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=(x−2)2(x2−4)2h(x)=\frac{(x-2)^2}{(x^2-4)^2}h(x)=(x2−4)2(x−2)2​.
I
II

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של h(x)h(x)h(x) ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה שלה, וקבעו איזה מבין הגרפים I ו-II מתאר את h(x)h(x)h(x). נמקו.

עוד 13 שאלות על מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
נגזרת עם פרמטר: קיצון, נקודות פיתול ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=x^2(x-k)$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)$ .
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פרמטר מנקודת קיצון, מציאת הפונקציה לפי נגזרתה וזיהוי גרף (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה מוגדרת בתחום $x\neq\pm\sqrt3$ , והיא עולה בתחום…
מציאת פונקציה לפי נגזרת פולינומית עם פרמטר ונקודה (שאלה קצרה · קלה)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=x^2(x-k)$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרף (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $g(x)$ פונקציית הנגזרת היא $g'(x)=\frac{6x}{(x^2+2)^2}-2$ , וגרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(1,1)$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x^2}{(x^3-a^3)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעל הגרף (שאלה קצרה · בינונית)
הנגזרת של הפונקציה $g(x)$ היא $g'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{x^3+8}}$ בתחום $x>-2$ . גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(2,5)$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
מציאת פונקציה לפי נגזרת עם שורש ונקודה שעל הגרף (שאלה קצרה · בינונית)
הנגזרת של הפונקציה $g(x)$ היא $g'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{x^3+8}}$ בתחום $x>-2$ . גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(2,5)$ . (הדרכה: הנגזרת של…
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה, וזיהוי הגרף שלה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{-12x^2}{(x^3+1)^3}$ , המוגדרת בתחום $x\ne-1$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 6
נתון כי $f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-a^2)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א-ג…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פולינום ממעלה רביעית עם פרמטר: מינימומים שווים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…