מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציה רציונלית בתחום פתוח - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את שני המספרים שעבורם סכום המספר הראשון ופי $4$ מהמספר השני הוא מינימלי, וחשבו את הסכום המינימלי.

הביעו באמצעות $p$ את משוואת הישר $AB$ ואת שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$.

הראו כי היחס בין שטח המשולש $OED$ ובין שטח המשולש $ABO$ הוא $\frac{3p}{(p+3)^2}$.

מצאו את הערך של $p$ שבעבורו היחס מקסימלי, ואת הערך המקסימלי של היחס.

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 1. דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקציה $f(x)$.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המשיק.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x=-1$ בנקודה $B$. $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(-1,0)$.

הביעו באמצעות $a$ את שטח המשולש $ADB$.

מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $ADB$ הוא מינימלי.

הביעו באמצעות $k$ ו-$t$ את שטח הגינה A.

הביעו באמצעות $k$ את הערך של $t$ שבעבורו היחס בין שטח הגינה B ובין שטח הגינה A הוא מינימלי.

הביעו באמצעות $k$ את הערך של $t$ שבעבורו היחס בין שטח הגינה A ובין שטח הגינה B הוא מקסימלי. נמקו את תשובתכם.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם יש לפונקציה ערך מינימלי בתחום $x>1$.

הציבו $a=3$ ומצאו את הערך המינימלי של הפונקציה בתחום.

הביעו באמצעות $k$ ו-$t$ את שטח הגינה A.

הביעו באמצעות $k$ את הערך של $t$ שבעבורו היחס בין שטח הגינה B ובין שטח הגינה A הוא מינימלי.

הביעו באמצעות $k$ את הערך של $t$ שבעבורו היחס בין שטח הגינה A ובין שטח הגינה B הוא מקסימלי. נמקו את תשובתכם.