מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציה רציונלית בתחום סגור - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+3}{x+1}$ בקטע $0\le x\le4$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$. מעבירים משיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=t$, כאשר $\frac12\le t\le4$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$. $O$ היא ראשית הצירים.

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac{9}{x}$ בתחום $2\le|x|\le6$ (כלומר $-6\le x\le-2$ או $2\le x\le6$).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$. מעבירים משיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=t$, כאשר $\frac12\le t\le4$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$. $O$ היא ראשית הצירים.

נתון כי משוואת המשיק היא $y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x^2}$, $x>0$. המשיק לגרף בנקודה שבה $x=t$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$.

נתון כי $A\left(\frac{3t}{2},0\right)$ ו-$B\left(0,\frac{3}{t^2}\right)$. נסמן $g(t)=AB^2=\frac{9t^2}{4}+\frac{9}{t^4}$ (אורך הקטע $AB$ מקסימלי בדיוק כאשר $g(t)$ מקסימלית). נתון כי $g$ יורדת בתחום $0<t\le\sqrt2$ ועולה בתחום $t\ge\sqrt2$.

ישר ששיפועו $-m$ ($m>0$ פרמטר) חותך את החלק החיובי של ציר ה-$x$ בנקודה $B$, ואת החלק החיובי של ציר ה-$y$ בנקודה $A$. הנקודה $D$ נמצאת על הישר $AB$ ברביע הראשון, והנקודה $E$ נמצאת על ציר ה-$x$ כך שהקטע $DE$ מקביל לציר ה-$y$. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים, כמתואר בסרטוט. נסמן את אורך הקטע $OE$ ב-$p$. נתון: שטח המשולש $OED$ הוא $2p$.