שאלות פתוחות: בעיות קיצון עם פונקציה רציונלית בתחום סגור - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בתחום $x\ge0$.

נתון הקטע $0\le x\le b$, כאשר $b>0$. מצאו לאילו ערכים של $b$ הערך המקסימלי המוחלט של הפונקציה בקטע מתקבל בנקודה $x=b$.

מצאו את $a$.

מצאו את הערך המקסימלי המוחלט ואת הערך המינימלי המוחלט של הפונקציה בקטע.

מצאו את $a$.

מצאו את הערך המקסימלי המוחלט ואת הערך המינימלי המוחלט של הפונקציה בקטע.

מצאו את הערך המקסימלי המוחלט ואת הערך המינימלי המוחלט של הפונקציה בתחום, ואת הנקודות שבהן הם מתקבלים.

הוכיחו כי $a<0$, ומצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ באמצעות $a$ ו-$b$. הבחינו בין מקרים.

ידוע כי $\left(6,3\sqrt3\right)$ היא נקודת מקסימום של $f(x)$. מצאו את $a$ ואת $b$, ואת תחום ההגדרה.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך מ-$P$ לציר ה-$x$ עם ציר ה-$x$, ו-$O$ ראשית הצירים. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

נניח ששיעור ה-$x$ של $P$ מוגבל לקטע $0\le x\le t$ (כאשר $0<t\le8$). לאילו ערכים של $t$ השטח המקסימלי של המשולש מתקבל ב-$x=t$? מהו השטח המקסימלי כאשר $P$ מוגבלת לתחום שבו $f(x)$ עולה?

הראו שמשוואת המשיק היא $y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$ באמצעות $t$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים $OA+OB$ מינימלי.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים מקסימלי.

הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $(f(x))^2$ המוגדרת גם היא בתחום: $0\le x\le2$. מהנקודה $P$ מעבירים ישר המאונך לציר ה-$x$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-$x$, ו-$O$ היא ראשית הצירים.

מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

בעבור שיעור ה-$x$ שמצאתם בסעיף ב, בטאו באמצעות $a$ את השטח המקסימלי של המשולש $PMO$.

אם ידוע כי שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ נמצא בתחום שבו הפונקציה $(f(x))^2$ אינה יורדת, מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $m$ ו-$p$ את שטח המשולש $ABO$.

מצאו באמצעות $m$ את הערך של $p$ שבעבורו היחס בין שטח המשולש $OED$ ובין שטח המשולש $ABO$ הוא מקסימלי, ואת הערך המקסימלי של היחס.

היכן נמצאת הנקודה $D$ על הקטע $AB$ כאשר היחס מקסימלי? נמקו.

נתון: $m=2$, והנקודה $D$ נמצאת על הישר $x=3$ או מימין לו (כלומר $p\ge3$).

מצאו את הערך המקסימלי של היחס בתנאי זה, ואת $p$ שבו הוא מתקבל.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת ההשקה שעבורו סכום ניצבי המשולש $AOB$ הוא מינימלי.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת ההשקה שעבורו סכום ניצבי המשולש $AOB$ הוא מקסימלי.