דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציה רציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציה רציונלית (בעיות ערך קיצון: שורש ורציונלית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציה רציונלית
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קלה

הנקודה A(−2,−1)A(-2,-1) קבועה, והנקודה PP נמצאת על גרף הפונקציה y=8xy=\frac{8}{x} ברביע הראשון. בונים מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, כך ש-AA ו-PP הם קודקודים נגדיים שלו.

מצאו את שיעורי הנקודה PP שעבורה שטח המלבן הוא הקטן ביותר, ואת השטח הקטן ביותר.

שאלה 2 · משיק להיפרבולה: סכום ניצבים מינימלי ומקסימלישאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}. מעבירים משיק לגרף f(x)f(x) בנקודה שבה x=tx=t, כאשר 12≤t≤4\frac12\le t\le4.

המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה AA ואת ציר ה-yy בנקודה BB. OO היא ראשית הצירים.

א.

הראו שמשוואת המשיק היא y=−1t2x+2ty=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AA ו-BB באמצעות tt.

ג.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים OA+OBOA+OB מינימלי.

ד.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים מקסימלי.

שאלה 3 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

ABCDABCD הוא מלבן ששטחו 2424 סמ"ר. הנקודה EE היא נקודה פנימית בצלע ABAB כך ש-AE=2AE=2 ס"מ, והנקודה FF היא נקודה פנימית בצלע ADAD כך ש-AF=3AF=3 ס"מ (ראו סרטוט). נסמן AB=xAB=x.

23ABCDEF
א.

הביעו באמצעות xx את שטח המשולש CEFCEF, וקבעו את תחום הערכים האפשריים של xx.

ב.

מצאו את השטח הקטן ביותר האפשרי של המשולש CEFCEF.

שאלה 4 · שלוש פונקציות רציונליות: איזו מהן עם אסימפטוטה אנכית אחת ואופקית אחת, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלישאלה מלאה · בינונית

לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי xx שבהם היא אינה מוגדרת.

g(x)=2x2+1(x−1)(x+1),h(x)=x2−5x+6(x−1)(x−2),k(x)=x3−4x(x−1)(x+2)g(x)=\frac{2x^2+1}{(x-1)(x+1)},\qquad h(x)=\frac{x^2-5x+6}{(x-1)(x-2)},\qquad k(x)=\frac{x^3-4x}{(x-1)(x+2)}

ידוע כי לאחת משלוש הפונקציות יש אסימפטוטה אופקית אחת ואסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

א.

מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקציה מקיימת את כל התכונות הללו. נמקו.

ענו על סעיפים ב-ד עבור הפונקציה שקבעתם בסעיף א.

ב.
(1)

מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ושל האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג.

נתון כי לפונקציה זו אין נקודות קיצון.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ד.

נסמן נקודה D על גרף הפונקציה, שעבורה x=tx=t, 2<t<32<t<3.

מהנקודה D מעבירים שני ישרים, האחד מאונך לציר ה-xx והאחר מאונך לאסימפטוטה האנכית של הפונקציה, כך שנוצר מלבן על ידי הישרים, על ידי האסימפטוטה האנכית ועל ידי ציר ה-xx.

מצאו את ערכו של tt, שעבורו היקף המלבן המתקבל הוא מינימלי. תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם.

שאלה 5 · שטח מינימלי של מרובע הבנוי על מקביליתשאלה קצרה · קשה

המרובע ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה EE היא נקודה כלשהי על הצלע ABAB. המשך הקטע CECE חותך את המשך הקטע ADAD בנקודה FF.

נסמן: AEAB=t\frac{AE}{AB}=t (0<t<10<t<1), SAED=SS_{AED}=S. נתון כי SABCD=2StS_{ABCD}=\frac{2S}{t} ו-SFAB=S1−tS_{FAB}=\frac{S}{1-t}, ולכן שטח המרובע BCDFBCDF הוא SABCD+SFAB=2St+S1−tS_{ABCD}+S_{FAB}=\frac{2S}{t}+\frac{S}{1-t}.

ABCDEF

מצאו את השטח הקטן ביותר האפשרי של המרובע BCDFBCDF (באמצעות SS), ואת tt שעבורו הוא מתקבל.

שאלה 6 · משולש בעל שטח מינימלי מתחת לגרף שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x+ax−2f(x)=\frac{3x+a}{x-2}, a>−6a>-6 הוא פרמטר.

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה, מימין לאסימפטוטה האנכית. הנקודה CC נמצאת על ציר ה-xx כך ש-ACAC מקביל לציר ה-yy, ו-BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx.

א.

הביעו באמצעות aa את שיעורי הנקודה BB, ומצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

ב.

הביעו באמצעות aa את שיעורי הנקודה AA שבעבורה שטח המשולש ABCABC מינימלי, ואת השטח המינימלי.

ג.

נתון שהשטח המינימלי של המשולש ABCABC הוא 30. מצאו את aa ואת שיעורי AA.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.