מבחן לדוגמה: בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הישר. (הדרכה: אחרי ההעלאה בריבוע, הוציאו את $(x+1)$ כגורם משותף.)

הנקודה A נמצאת על גרף $f(x)$ בין שתי נקודות החיתוך, ושיעור ה-$x$ שלה הוא $t$ ($-1<t<0$). דרך A העבירו ישר המקביל לציר ה-$y$, החותך את הישר הנתון בנקודה B, וישר המקביל לציר ה-$x$, החותך את הישר הנתון בנקודה C.

הראו כי $AB=2\sqrt{t+1}-2t-2$ וכי $AC=\sqrt{t+1}-1-t$.

מצאו את $t$ שבעבורו סכום האורכים $AB+AC$ מקסימלי, ואת הסכום המקסימלי.

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה (בתחום הנתון) שהמרחק שלה מהנקודה $A$ הוא הגדול ביותר, ואת המרחק הזה.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות הנתונות. דרך הנקודה A העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה-$y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה B, וישר המקביל לציר ה-$x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה C. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה A.

הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע AB.

הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע AC.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו-AC הוא מקסימלי.

ידוע כי $\left(6,3\sqrt3\right)$ היא נקודת מקסימום של $f(x)$. מצאו את $a$ ואת $b$, ואת תחום ההגדרה.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך מ-$P$ לציר ה-$x$ עם ציר ה-$x$, ו-$O$ ראשית הצירים. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

נניח ששיעור ה-$x$ של $P$ מוגבל לקטע $0\le x\le t$ (כאשר $0<t\le8$). לאילו ערכים של $t$ השטח המקסימלי של המשולש מתקבל ב-$x=t$? מהו השטח המקסימלי כאשר $P$ מוגבלת לתחום שבו $f(x)$ עולה?

מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת נקודות החיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$. הבחינו בין $n$ זוגי ל-$n$ אי-זוגי.

מצאו באמצעות $n$ את הערך של $p$ שבעבורו שטח המשולש OAB מקסימלי.

נתון שכאשר שטח המשולש OAB מקסימלי, אורך הקטע AB הוא $0.09$. מצאו את $n$.

האם קיים $n$ שבעבורו השטח המקסימלי של המשולש OAB מתקבל כאשר אורך הקטע AB מקסימלי? נמקו.