שאלות פתוחות: בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון עם פונקציית שורש על גרפים, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מורידים אנך מנקודה על הגרף של √(20-4x) ומחפשים שטח מקסימלי, מעבירים משיק ל-√x ומחפשים את המשולש שנוצר עם הצירים, ומוצאים את הנקודה על √x הקרובה ביותר לנקודה נתונה. רוב השאלות בינוניות, וחלק ניכר קשות. מתאים לשילוב במבחן בבעיות קיצון או בדף עבודה; כל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ונשמרת בקובץ Word.

34 שאלותקלה: 6בינונית: 19קשה: 9

שאלה 1 · בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפיםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=20−4xf(x)=\sqrt{20-4x}f(x)=20−4x​ בתחום 0≤x≤50\le x\le50≤x≤5. מנקודה PPP שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנך לציר ה-xxx ואנך לציר ה-yyy, וכך נוצר מלבן שאחד מקודקודיו הוא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
f(x)
-1123456-112345P

מצאו את שיעורי הנקודה PPP שעבורה היקף המלבן הוא הגדול ביותר, ואת ההיקף הגדול ביותר.

שאלה 2 · בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

דרך הנקודה A(t,t)A(t,\sqrt{t})A(t,t​), t>0t>0t>0, שעל גרף הפונקציה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה BBB ואת הישר x=12x=12x=12 בנקודה CCC. הישר x=12x=12x=12 חותך את ציר ה-xxx בנקודה DDD (ראו סרטוט).
y=x​x=12
ABCD

א.

הביעו באמצעות ttt את שטח המשולש BDCBDCBDC.

ב.

מצאו את ttt שעבורו שטח המשולש BDCBDCBDC מינימלי, ואת השטח המינימלי.

שאלה 3 · בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפיםשאלה קצרה · קשה

נתונים גרף הפונקציה y=xy=\sqrt{x}y=x​ והנקודה A(a,0)A(a,0)A(a,0), כאשר a>0a>0a>0 פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הנקודה על הגרף הקרובה ביותר לנקודה AAA היא ראשית הצירים.

ב.

הציבו a=2a=2a=2 ומצאו את המרחק הקטן ביותר בין הנקודה AAA לבין גרף הפונקציה.

שאלה 4 · הישר $y = x$ והפונקציה $x$ : קטע אופקי ומשולש בעל שטח מקסימלי - מודרךשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=xf(x)=xf(x)=x ו-g(x)=xg(x)=\sqrt xg(x)=x​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ב.

הנקודה A נמצאת על גרף f(x)f(x)f(x), והנקודה B נמצאת על גרף g(x)g(x)g(x) כך שהקטע AB מקביל לציר ה-xxx. שיעור ה-xxx של A הוא ppp, כאשר 0<p<10<p<10<p<1.

הראו ששיעור ה-xxx של הנקודה B הוא p2p^2p2, והביעו באמצעות ppp את אורך הקטע AB.

ג.

הנקודה O היא ראשית הצירים.

(1)

הראו ששטח המשולש OAB הוא S(p)=12(p2−p3)S(p)=\frac12\left(p^2-p^3\right)S(p)=21​(p2−p3).

(2)

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OAB.

ד.

מצאו את ppp שבעבורו אורך הקטע AB מקסימלי. האם זה אותו ppp שמצאתם בסעיף ג(2)?

שאלה 5 · בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ בתחום 1≤x≤91\le x\le91≤x≤9, והנקודה A(0,4)A(0,4)A(0,4).

מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה (בתחום הנתון) שהמרחק שלה מהנקודה AAA הוא הגדול ביותר, ואת המרחק הזה.

שאלה 6 · שורש של פולינום עם פרמטרים: תחום סגור, בעיה הפוכה ומשולש מקסימלי מתחת לגרףשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=ax4+bx3f(x)=\sqrt{ax^4+bx^3}f(x)=ax4+bx3​, כאשר a≠0a\neq0a=0 ו-b≠0b\neq0b=0 פרמטרים. ידוע שתחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) הוא קטע סגור.

א.

הוכיחו כי a<0a<0a<0, ומצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) באמצעות aaa ו-bbb. הבחינו בין מקרים.

ב.

ידוע כי (6,33)\left(6,3\sqrt3\right)(6,33​) היא נקודת מקסימום של f(x)f(x)f(x). מצאו את aaa ואת bbb, ואת תחום ההגדרה.

ג.

הנקודה PPP נמצאת על הגרף של f(x)f(x)f(x). MMM היא נקודת החיתוך של האנך מ-PPP לציר ה-xxx עם ציר ה-xxx, ו-OOO ראשית הצירים. מצאו את שיעור ה-xxx של PPP שבעבורו שטח המשולש PMOPMOPMO מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

נניח ששיעור ה-xxx של PPP מוגבל לקטע 0≤x≤t0\le x\le t0≤x≤t (כאשר 0<t≤80<t\le80<t≤8). לאילו ערכים של ttt השטח המקסימלי של המשולש מתקבל ב-x=tx=tx=t? מהו השטח המקסימלי כאשר PPP מוגבלת לתחום שבו f(x)f(x)f(x) עולה?

שאלה 7 · מכפלת קטעים אנכיים ונקודת הפיתול: גרסה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xf(x)=\sqrt xf(x)=x​, המוגדרת בתחום: x≥0x\ge0x≥0, ונתונה הפונקציה: g(x)=24x2+12g(x)=\frac{24}{x^2+12}g(x)=x2+1224​, המוגדרת לכל xxx.

א.

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

הראו כי g′′(x)=144(x2−4)(x2+12)3g''(x)=\frac{144(x^2-4)}{(x^2+12)^3}g′′(x)=(x2+12)3144(x2−4)​, ומצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ב.

בנקודה C(t,0)C(t,0)C(t,0), t>0t>0t>0, מעבירים אנך לציר ה-xxx. האנך חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x) בנקודה B.

הביעו באמצעות ttt את מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC.

ג.

מצאו את ttt שבעבורו מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית ואת הערך המקסימלי, והראו שבערך זה B היא נקודת פיתול של g(x)g(x)g(x).

ד.

נתונה הפונקציה: k(x)=24x+2(x+2)2+12k(x)=\frac{24\sqrt{x+2}}{(x+2)^2+12}k(x)=(x+2)2+1224x+2​​, המוגדרת בתחום: x≥−2x\ge-2x≥−2.

הסבירו מדוע k(x)k(x)k(x) מתקבלת מהביטוי שמצאתם בסעיף ב על ידי ההצבה t=x+2t=x+2t=x+2, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של k(x)k(x)k(x) וקבעו את סוגה.

שאלה 8 · בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפיםשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט מתוארים גרף הפונקציה y=xy=\sqrt{x}y=x​ והנקודה A(0,2)A(0,2)A(0,2). PPP היא נקודה על הגרף ששיעור ה-xxx שלה חיובי.
y=x​
AP

מצאו את השיפוע הגדול ביותר האפשרי של הישר APAPAP, ואת שיעורי הנקודה PPP שעבורה הוא מתקבל.

שאלה 9 · המשפחה $x^{n}$ ו- $x^{n}$ : זוגיות המעריך, משולש מקסימלי ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

nnn הוא מספר טבעי, n≥2n\ge2n≥2. נתונות הפונקציות f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn ו-g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת נקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x). הבחינו בין nnn זוגי ל-nnn אי-זוגי.

בסעיפים ב-ד: הנקודה A נמצאת על גרף f(x)f(x)f(x) ושיעור ה-xxx שלה הוא ppp, כאשר 0<p<10<p<10<p<1. הנקודה B נמצאת על גרף g(x)g(x)g(x) ברביע הראשון, כך שהקטע AB מקביל לציר ה-xxx. O היא ראשית הצירים.

ב.

מצאו באמצעות nnn את הערך של ppp שבעבורו שטח המשולש OAB מקסימלי.

ג.

נתון שכאשר שטח המשולש OAB מקסימלי, אורך הקטע AB הוא 0.090.090.09. מצאו את nnn.

ד.

האם קיים nnn שבעבורו השטח המקסימלי של המשולש OAB מתקבל כאשר אורך הקטע AB מקסימלי? נמקו.

שאלה 10 · פונקציית שורש $(16 - x) x$ : חקירה, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=(16−x)xf(x)=(16-x)\sqrt{x}f(x)=(16−x)x​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי f′(x)=16−3x2xf'(x)=\frac{16-3x}{2\sqrt{x}}f′(x)=2x​16−3x​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות קצה). קבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). הנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם החלק החיובי של ציר ה-xxx. מן הנקודה A העבירו שני אנכים: אנך אחד לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך נוסף לישר x=16x=16x=16 החותך אותו בנקודה D.

הראו כי היקף המלבן ABCD הוא P(x)=2(16−x)(1+x)P(x)=2(16-x)(1+\sqrt x)P(x)=2(16−x)(1+x​), כאשר xxx הוא שיעור ה-xxx של A, ומצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה ההיקף מקסימלי.

עוד 20 שאלות על בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הפונקציות $x^{2}$ ו- $x$ : קטע אופקי בין הגרפים ומשולש בעל שטח מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שתי פונקציות: $f(x)=x^2$ , $g(x)=\sqrt x$ .
משפחת פונקציות $\frac{k}{x ^{2} + c}$ : הוכחה כללית שהמקסימום בנקודת הפיתול, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{k}{x^2+c}$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ ו- $c$ הם פרמטרים…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · קלה)
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{12-2x}$ . מן הנקודה A מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מלבן שאחד מקדקודיו בראשית…
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $g(x)=\sqrt x$ , והנקודה B נמצאת על הישר $y=\frac x2$ , כך שהקטע AB מקביל לציר ה- $y$ . שיעור ה- $x$ של A ושל B…
משפחת הפונקציות $x a - x$ : מתי יש מלבן בעל היקף מקסימלי ומתי הוא ריבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש וישר: קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=2\sqrt{x+1}$ . נתון הישר $y=2x+2$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{8-2x}$ . המלבן $OPQR$ בנוי כך ש- $O$ בראשית הצירים, $P$ על החלק החיובי של ציר ה- $x$ , $R$ על החלק החיובי של ציר…
שורש וישר דרך הראשית עם שיפוע $m$ : יחס קבוע בין הקטעים, משיק מקביל ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=4\sqrt{x}$ והישר $y=mx$ , כאשר $m>0$ הוא פרמטר. הנקודה A נמצאת על גרף $f(x)$ בין שתי נקודות החיתוך של הגרף עם הישר,…
חקירת $\frac{16 x}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16x}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
משיק לגרף $\frac{1}{x ^{2}}$ : היתר הקצר ביותר ותחום שבו המקסימום בקצה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , $x>0$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=t$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt x$ ו- $h(x)=\frac{12}{x+4}$ , המוגדרות בתחום $x\ge0$ . בנקודה $C(t,0)$ , $t>0$ , מעבירים אנך לציר ה- $x$ . האנך חותך…
שטח משולש מקסימלי בין הגרפים של x בחזקת n ושל שורשה (שאלה קצרה · קשה)
$n$ הוא מספר טבעי, $n\ge2$ . נתונות הפונקציות $f(x)=x^n$ ו- $g(x)=\sqrt{f(x)}$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{12-3x}$ בתחום $0\le x\le4$ . O היא ראשית הצירים. הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה- $x$ ,…
פרמטרים מנקודת מקסימום, שטח משולש מקסימלי ומקסימום בקטע מוגבל (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{ax^4+bx^3}$ , כאשר $a\neq0$ ו- $b\neq0$ פרמטרים. ידוע שתחום ההגדרה של $f(x)$ הוא קטע סגור. ידוע כי $a<0$ . אם…
פונקציית שורש $x 6 - x^{2}$ : תחום, סימן, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{6-x^2}$ .
חצי מעגל וישר: נקודות חיתוך, קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ . נתון הישר $y=10-2x$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\sqrt{x-1}$ והישר $y=x-1$ . הנקודה A נמצאת על גרף $f(x)$ בין שתי נקודות החיתוך של הגרף עם הישר, ושיעור ה- $x$ שלה הוא…
פונקציית שורש המוגדרת לכל x וישר מעליה: נקודות חיתוך, קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\sqrt{x^2-8x+25}$ . נתון הישר $y=5-\frac x2$ .
היקף מקסימלי של מלבן הבנוי על גרף של מכפלה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(16-x)\sqrt{x}$ .
סכום מקסימלי של קטע אנכי וקטע אופקי בין חצי מעגל לישר (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ . נתון הישר $y=10-2x$ . גרף הפונקציה חותך את הישר בשתי נקודות: $(3,4)$ ו- $(5,0)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציות $x^{3}$ ו- $x^{3}$ : קטע אופקי בין הגרפים ומשולש בעל שטח מקסימלי · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 8
נתונות שתי פונקציות: $f(x)=x^3$ , $g(x)=\sqrt{f(x)}$ .
חקירת $\frac{16}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה של פונקציית המטרה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציית שורש $x 8 - x$ : תחום, סימן, סקיצה ומלבן בעל היקף מקסימלי · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{8-x}$ .
פונקציית שורש וישר: נקודות חיתוך, קטעים אנכי ואופקי וסכום מקסימלי · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=2\sqrt{x^2-1}$ . נתון הישר $y=3x-3$ .