מבחן לדוגמה: בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

מלבן חסום במעגל שרדיוסו $5$ ס"מ. נסמן ב-$x$ את אורך המלבן (ראו איור).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ בתחום $-5\le x\le5$. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה-$x$ וחותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה נוספת B. הנקודות C ו-D נמצאות על ציר ה-$x$ כך שנוצר מלבן ABCD. הנקודה F היא נקודת החיתוך של הצלע AB עם ציר ה-$y$. הנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה A.

טרפז שווה-שוקיים ABCD חסום בחצי עיגול שמרכזו O ורדיוסו $4$ ס"מ: הבסיס הגדול AB הוא הקוטר, וקודקודי הבסיס הקטן C ו-D נמצאים על הקשת. נסמן ב-$x$ את חצי אורך הבסיס הקטן ($DC=2x$).

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. על הקוטר מסמנים את הנקודות $C$ ו-$G$, ועל המעגל מסמנים את הנקודות $D$ ו-$E$ (מאותו צד של הקוטר), כך ש-$CDEG$ הוא מלבן. הנקודה $C$ נמצאת בין $B$ ל-$O$ (ראו סרטוט).

נסמן: $OC=x$.

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. על הקוטר מסמנים את הנקודות $C$ ו-$G$, ועל המעגל מסמנים את הנקודות $D$ ו-$E$ (מאותו צד של הקוטר), כך ש-$CDEG$ הוא מלבן. הנקודה $C$ נמצאת בין $B$ ל-$O$ (ראו סרטוט).

נסמן: $OC=x$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=2R-\sqrt{x^2+R^2}$, $R$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-\sqrt3R\le x\le\sqrt3R$ (בתחום זה $f(x)\ge0$). הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה-$x$ וחותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה נוספת B. הנקודות C ו-D נמצאות על ציר ה-$x$ כך שנוצר מלבן ABCD. הנקודה F היא נקודת החיתוך של הצלע AB עם ציר ה-$y$. הנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$y$. נתון ריבוע שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע EF. נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה A.