שאלות פתוחות: בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש לכיתה י"א, 5 יחידות: מלבן החסום במעגל, משולש שווה-שוקיים החסום במעגל, ומשולש או מלבן שקודקודיו על חצי מעגל √(25-x²). בשאלות מבטאים את השטח או ההיקף בעזרת משתנה אחד, מגיעים לפונקציה עם שורש ומוצאים את הערך הגדול ביותר. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ורובן כוללות סרטוט. בוחרים מכאן לבוחן או למבחן, ומקבלים לכל בעיה פתרון מלא וייצוא ל-Word.

26 שאלותקלה: 9בינונית: 13קשה: 4

שאלה 1 · מלבן בין קוטר, משיק ומעגל: בעיית קיצון מודרכתשאלה מלאה · קלה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 4. על הקוטר מסמנים נקודה CCC ועל המעגל נקודה DDD, כך ש-CD⊥ABCD\perp ABCD⊥AB ו-AC>4AC>4AC>4. דרך DDD מעבירים ישר המקביל ל-ABABAB, ודרך AAA מעבירים משיק למעגל; הם נחתכים בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: AC=xAC=xAC=x.
OABCDE

א.

הראו כי CD=x(8−x)CD=\sqrt{x(8-x)}CD=x(8−x)​.

ב.

הביעו באמצעות xxx את שטח המלבן ACDEACDEACDE, ורשמו את התחום שבו xxx יכול להשתנות.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

הנקודה FFF נמצאת על הצלע DEDEDE.

הראו כי סכום השטחים של המשולשים CDFCDFCDF ו-AFEAFEAFE שווה למחצית שטח המלבן, ומצאו את הסכום המקסימלי.

שאלה 2 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

משולש שווה-שוקיים ABC (AB=ACAB=ACAB=AC) חסום במעגל שרדיוסו RRR. נסמן ב-hhh את אורך הגובה AD לבסיס BC.
hABCDO

א.

הביעו באמצעות RRR את הערך של hhh שבעבורו שטח המשולש ABC הוא הגדול ביותר האפשרי.

ב.

חשבו את אורכי צלעות המשולש שהתקבל בסעיף א', וקבעו איזה משולש הוא.

שאלה 3 · מלבן בין מעגל לישר מרוחק: מיקום המקסימום כפונקציה של פרמטרשאלה מלאה · קשה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. הנקודה MMM נמצאת על המשך הקוטר מעבר לנקודה AAA, כך ש-AM=dAM=dAM=d (d>0d>0d>0 פרמטר), והישר ℓ\ellℓ מאונך ל-ABABAB בנקודה MMM.
מסמנים על הקוטר נקודה CCC ועל המעגל נקודה DDD כך ש-CD⊥ABCD\perp ABCD⊥AB. דרך DDD מעבירים ישר המקביל ל-ABABAB, והוא חותך את ℓ\ellℓ בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: AC=xAC=xAC=x, 0<x<2R0<x<2R0<x<2R.
OABMCDE

א.

הביעו באמצעות xxx, RRR ו-ddd את שטח המלבן MCDEMCDEMCDE.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-ddd את הערך של xxx שבעבורו שטח המלבן מקסימלי.

ג.

הראו כי לכל d>0d>0d>0, במלבן בעל השטח המקסימלי מתקיים R<AC<1.5RR<AC<1.5RR<AC<1.5R.

ד.

נתון כי במלבן בעל השטח המקסימלי AC=54RAC=\frac54RAC=45​R. מצאו את ddd, והביעו באמצעות RRR את השטח המקסימלי.

שאלה 4 · מלבן חסום מתחת לחצי מעגל שרדיוסו 5: מקסימום של היקף המלבן פחות EFשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=25−x2f(x)=\sqrt{25-x^2}f(x)=25−x2​ בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5−5≤x≤5. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx וחותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה נוספת B. הנקודות C ו-D נמצאות על ציר ה-xxx כך שנוצר מלבן ABCD. הנקודה F היא נקודת החיתוך של הצלע AB עם ציר ה-yyy. הנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה A.
ABCDEF

א.

(1)

הראו כי EF=5−25−t2EF=5-\sqrt{25-t^2}EF=5−25−t2​.

(2)

הביעו באמצעות ttt את היקף המלבן ABCD.

ב.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן ABCD לבין אורך הקטע EF הוא מקסימלי.

ג.

מצאו את ממדי המלבן ABCD ואת ההפרש המקסימלי.

שאלה 5 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 555 ס"מ. נסמן ב-xxx את אורך המלבן (ראו איור).
xO

א.

מצאו את מידות המלבן שהיקפו הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו היקף זה.

ב.

בשל דרישת הלקוח, אורך המלבן חייב להיות לפחות 888 ס"מ. מצאו את ההיקף הגדול ביותר האפשרי במקרה זה.

שאלה 6 · מלבן מתחת לגרף $R^{2} - R ∣ x ∣$ : מתי יש מקסימום להפרש $P_{A BC D} - k \cdot P_{ריבוע}$ ומתי המלבן ריבועשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=R2−R∣x∣f(x)=\sqrt{R^2-R|x|}f(x)=R2−R∣x∣​ בתחום −R≤x≤R-R\le x\le R−R≤x≤R, כאשר RRR הוא פרמטר חיובי. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה-xxx וחותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה נוספת B. הנקודות C ו-D נמצאות על ציר ה-xxx כך שנוצר מלבן ABCD. הנקודה F היא נקודת החיתוך של הצלע AB עם ציר ה-yyy. הנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה A (0<t<R0<t<R0<t<R). נגדיר: S(t)S(t)S(t) הוא היקף המלבן ABCD פחות kkk פעמים היקף הריבוע שצלעו EF, כאשר kkk הוא פרמטר חיובי.
ABCDEF

א.

הביעו את S(t)S(t)S(t) באמצעות RRR, ttt ו-kkk.

ב.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם לפונקציה S(t)S(t)S(t) יש נקודת מקסימום בתחום 0<t<R0<t<R0<t<R, והביעו באמצעות RRR ו-kkk את שיעור ה-ttt של נקודת המקסימום.

ג.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו המלבן ABCD המתקבל בנקודת המקסימום של S(t)S(t)S(t) הוא ריבוע.

שאלה 7 · היקף מקסימלי של מלבן החסום במעגלשאלה קצרה · קלה

מלבן חסום במעגל שרדיוסו 555 ס"מ. נסמן ב-xxx את אורך המלבן (ראו איור).
xO

מצאו את מידות המלבן שהיקפו הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו היקף זה.

שאלה 8 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

טרפז שווה-שוקיים ABCD חסום בחצי עיגול שמרכזו O ורדיוסו 444 ס"מ: הבסיס הגדול AB הוא הקוטר, וקודקודי הבסיס הקטן C ו-D נמצאים על הקשת. נסמן ב-xxx את חצי אורך הבסיס הקטן (DC=2xDC=2xDC=2x).
42xABCDO

א.

הביעו באמצעות xxx את היקף הטרפז.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו היקף הטרפז הוא הגדול ביותר, וחשבו היקף זה.

שאלה 9 · שטח מקסימלי של מלבן שצלע שלו על קוטר המעגל, באמצעות הרדיוסשאלה קצרה · קשה

הקטע ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. על הקוטר מסמנים את הנקודות CCC ו-GGG, ועל המעגל מסמנים את הנקודות DDD ו-EEE (מאותו צד של הקוטר), כך ש-CDEGCDEGCDEG הוא מלבן. הנקודה CCC נמצאת בין BBB ל-OOO (ראו סרטוט).
נסמן: OC=xOC=xOC=x.
OABCGDE

הביעו באמצעות RRR את הערך של xxx שבעבורו שטח המלבן CDEGCDEGCDEG מקסימלי.

שאלה 10 · בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורששאלה קצרה · בינונית

הקטע AB הוא קוטר של חצי עיגול, ואורכו 101010. הנקודה P נעה על הקשת, כמתואר באיור.
ABOP

מצאו את אורכי הקטעים PA ו-PB שבעבורם הביטוי 3⋅PA+4⋅PB3\cdot PA+4\cdot PB3⋅PA+4⋅PB מקבל את ערכו הגדול ביותר, וחשבו ערך זה.

עוד 6 שאלות על בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הפרש מקסימלי בין היקף מלבן להיקף ריבוע מתחת לגרף עם פרמטר (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=2R-\sqrt{x^2+R^2}$ , $R$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-\sqrt3R\le x\le\sqrt3R$ …
בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
שני עמודים ניצבים לקרקע אופקית: גובה העמוד AT הוא $3$ מטר, גובה העמוד BS הוא $6$ מטר, והמרחק AB בין בסיסיהם הוא $12$ מטר. כבל נמתח מראש…
מלבן חסום בחצי מעגל: שטח מקסימלי וסכום שטחי משולשים (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . על הקוטר מסמנים את הנקודות $C$ ו- $G$ , ועל המעגל מסמנים את הנקודות $D$ ו- $E$ (מאותו צד של…
בעיות קיצון גאומטריות עם פונקציית שורש (שאלה קצרה · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 6. המיתר $DG$ מקביל ל- $AB$ ( $D$ ו- $G$ על המעגל, מאותו צד של $AB$ ). נסמן ב- $x$ את מחצית אורך…
מלבן חסום מתחת לגרף $2 R - x^{2} + R^{2}$ וריבוע על הקטע EF: מקסימום של הפרש היקפים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=2R-\sqrt{x^2+R^2}$ , $R$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-\sqrt3R\le x\le\sqrt3R$ …
מלבן בין מיתר אנכי למשיק במעגל: ביטוי לשטח ושטח מקסימלי (שאלת ביניים · בינונית)
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 4. על הקוטר מסמנים נקודה $C$ ועל המעגל נקודה $D$ , כך ש- $CD\perp AB$ ו- $AC>4$ . דרך $D$ מעבירים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מלבן בין קוטר, משיק ומעגל: שטח מקסימלי וסכום שטחי משולשים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 8
הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ . מסמנים על הקוטר נקודה $C$ ועל המעגל מסמנים נקודה $D$ , כך שהקטע $CD$ מאונך לקטע $AB$ . הקטע $AC$ גדול מ- $R$ . דרך הנקודה $D$ …
מלבן חסום מתחת לחצי מעגל וריבוע על הקטע EF: מקסימום של הפרש היקפים עם פרמטר · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , $R$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-R\le x\le R$ . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ …

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

טרפז בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
בחצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 12 ס"מ חסום טרפז $ABCD$ : הבסיס $DC$ הוא קוטר חצי המעגל, והקודקודים $A$ ו- $B$ …
מעוין עם סכום אלכסונים קבוע: אילו היקפים אפשריים (שאלה מלאה · קלה)
במעוין $ABCD$ האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נפגשים בנקודה $M$ . סכום האורכים של האלכסונים הוא 60 ס"מ. נסמן ב- $2x$ את…
בעיית קיצון: עפיפון בצורת מעוין עם היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
רון בנה עפיפון בצורת מעוין. הוא בנה שלד בעזרת שני מקלות מאונכים $AC$ ו- $BD$ (ראה ציור). סכום האורכים של $AC$ …
בעיית קיצון: קישוט בצורת מעוין עם היקף מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
דנה מכינה קישוט בצורת מעוין. השלד בנוי ממקל אחד לאורך האלכסון $AC$ ומקל כפול לאורך האלכסון $BD$ (שני מקלות…
משולש שווה שוקיים בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בחצי מעגל שרדיוסו 10 ס"מ חסום משולש שווה שוקיים $ABO$ כך שקודקוד הראש שלו במרכז המעגל $O$ , ובסיסו $AB$ מקביל…
משולש בחצי מעגל: שטח מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
בחצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 8 ס"מ, $PQ$ הוא הקוטר. הנקודה $A$ נמצאת על הקשת, ו- $H$ היא עקב האנך מ- $A$ לקוטר,…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · קלה)
במשולש שווה שוקיים סכום האורכים של הבסיס ושל הגובה לבסיס הוא 24 ס"מ. נסמן ב- $2x$ את אורך הבסיס.
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציית שורש (שאלה קצרה · קלה)
בחצי עיגול שרדיוסו 5 ס"מ חסום מלבן: צלע אחת שלו מונחת על הקוטר, ושני הקודקודים האחרים על הקשת. נסמן ב- $x$ את…