מבחן לדוגמה: הסתברות כיחס שטחים - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

הסתברות כיחס שטחים

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · לוח משחק: שטחים, הסתברות וברנולישאלה מלאה · קלה

נתון לוח משחק מלבני שאורכי צלעותיו 12 ס"מ ו-8 ס"מ.
על הלוח מסורטטים עיגול שרדיוסו 2 ס"מ, ומשולש ישר זווית שניצביו 6 ס"מ ו-6 ס"מ. העיגול והמשולש אינם חופפים.
מטילים חרוז קטן מאוד על הלוח (החרוז תמיד פוגע בלוח).
PQRSKL

א.

חשבו את שטח המשולש ואת שטח העיגול.

ב.

מהי ההסתברות שהחרוז יפגע מחוץ לעיגול ומחוץ למשולש?

ג.

מטילים את החרוז פעמיים. מהי ההסתברות שבפעם הראשונה הוא יפגע במשולש ובפעם השנייה בעיגול?

ד.

מטילים את החרוז 4 פעמים. מהי ההסתברות שבדיוק פעם אחת הוא יפגע במשולש?

שאלה 2 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, זוויות במשולש, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטותשאלה מלאה · קלה

שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.

א.

בסדרה מתקיים: an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1an+1​=an​+2n+1.

(1)

הוכיחו: אם עבור kkk טבעי מסוים ak=k2+1a_k=k^2+1ak​=k2+1, אז ak+1=(k+1)2+1a_{k+1}=(k+1)^2+1ak+1​=(k+1)2+1.

(2)

נתון גם a1=3a_1=3a1​=3. האם לכל nnn טבעי מתקיים an=n2+1a_n=n^2+1an​=n2+1? נמקו.

ב.

בדקו נכונות / אי נכונות הטענה הבאה. אם היא נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.
אם זוויות α\alphaα ו-β\betaβ של משולש מקיימות sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha=\sin\betasinα=sinβ, אז המשולש שווה-שוקיים.

ג.

במשחק מחשב מופיעה בכל שלב דמות במקום אקראי על גבי משטח שצורתו מקבילית ABCDABCDABCD. אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה OOO, כמתואר בסרטוט.
ABCDO

מהי ההסתברות שהדמות מופיעה בתוך המשולש AOBAOBAOB?

ד.

לפניכם שלוש פונקציות:
f(x)=2x2+1x2−1;g(x)=2x+1x2−1;h(x)=2x3x2+1f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-1}\quad;\quad g(x)=\frac{2x+1}{x^2-1}\quad;\quad h(x)=\frac{2x^3}{x^2+1}f(x)=x2−12x2+1​;g(x)=x2−12x+1​;h(x)=x2+12x3​
לאיזו מהן יש אסימפטוטה אופקית y=2y=2y=2? נמקו את בחירתכם ופסלו את האחרות.

שאלה 3 · הסתברות כיחס שטחיםשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB והנקודה EEE על הצלע ACACAC, כך ש-DE∥BCDE\parallel BCDE∥BC. בוחרים באקראי נקודה בתוך המשולש ABCABCABC (לכל נקודה אותו סיכוי). ידוע כי ההסתברות שהנקודה נמצאת בתוך הטרפז DBCEDBCEDBCE היא 59\frac5995​.
ABCDE

מצאו את היחס ADAB\frac{AD}{AB}ABAD​.

שאלה 4 · מטרה עגולה: רדיוס העיגול הפנימי מתוך יחס הסתברויותשאלת ביניים · בינונית

מטרה עגולה שרדיוסה 30 ס"מ מחולקת לשני אזורים: עיגול פנימי שרדיוסו rrr ס"מ (0<r<300<r<300<r<30), שמרכזו הוא מרכז המטרה OOO, וטבעת שמסביבו. חץ שנזרק פוגע תמיד במטרה, וכל נקודה במטרה אפשרית באותה מידה, כלומר ההסתברות לפגוע באזור שווה ליחס בין שטח האזור לשטח המטרה. הסרטוט אינו בקנה מידה.
O

א.

הביעו באמצעות rrr את ההסתברות שהחץ יפגע בעיגול הפנימי, ואת ההסתברות שהחץ יפגע בטבעת.

ב.

מצאו את rrr שבעבורו ההסתברות שהחץ יפגע בטבעת גדולה פי 3 מן ההסתברות שהחץ יפגע בעיגול הפנימי.

ג.

בעבור הערך של rrr שמצאתם בסעיף ב, מסרטטים במטרה עיגול נוסף שמרכזו OOO ורדיוסו sss ס"מ (r<s<30r<s<30r<s<30). העיגול מחלק את הטבעת לשתי טבעות: טבעת פנימית בין הרדיוסים rrr ו-sss, וטבעת חיצונית בין הרדיוסים sss ו-303030. מצאו את sss שבעבורו ההסתברות לפגוע בטבעת הפנימית שווה להסתברות לפגוע בטבעת החיצונית.

שאלה 5 · הסתברות כיחס שטחיםשאלה קצרה · קשה

בוחרים באקראי שני מספרים xxx ו-yyy מהקטע [0,2][0,2][0,2], כך שהנקודה (x,y)(x,y)(x,y) מפוזרת באופן אחיד בריבוע 0≤x≤20\le x\le20≤x≤2, 0≤y≤20\le y\le20≤y≤2.

מצאו את ההסתברות שקיים משולש שאורכי צלעותיו xxx, yyy ו-111.

שאלה 6 · לוח משחק עם עיגול ומשולש: הסתברות כפונקציה של הרדיוסשאלת ביניים · קשה

נתון לוח משחק מלבני שאורכי צלעותיו 24 ס"מ ו-10 ס"מ.
על הלוח מסורטטים עיגול ומשולש. העיגול, שרדיוסו rrr ס"מ, משיק לצלע העליונה ולצלע הקצרה הימנית של המלבן. ABABAB הוא קוטר של העיגול, ו-BBB היא נקודת ההשקה עם הצלע הקצרה הימנית. צלע אחת של המשולש היא הצלע הקצרה השמאלית של המלבן, והקודקוד השלישי שלו הוא AAA.
מטילים חרוז קטן מאוד על הלוח (החרוז תמיד פוגע בלוח).
PQRSAB

א.

הביעו באמצעות rrr את ההסתברות שהחרוז יפגע במשולש, ורשמו את תחום הערכים האפשריים של rrr.

ב.

נתון שההסתברות לפגוע במשולש היא 13\frac1331​. מצאו את rrr.

ג.

מצאו את rrr שבעבורו ההסתברות שהחרוז יפגע בעיגול שווה להסתברות שהחרוז יפגע במשולש.

שאלה 1 · לוח משחק: שטחים, הסתברות וברנולישאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, זוויות במשולש, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטותשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · הסתברות כיחס שטחיםשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · מטרה עגולה: רדיוס העיגול הפנימי מתוך יחס הסתברויותשאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · הסתברות כיחס שטחיםשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · לוח משחק עם עיגול ומשולש: הסתברות כפונקציה של הרדיוסשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד