דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הסתברות של איחוד מאורעות - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הסתברות של איחוד מאורעות (הסתברות: מושגי יסוד וחוקי ההסתברות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
הסתברות של איחוד מאורעות
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלה קצרה · קלה

במרחב מדגם נתונים שני מאורעות, AA ו-BB. נתון: P(A)=0.45P(A)=0.45, P(Bˉ)=0.35P(\bar{B})=0.35, P(A∩B)=0.25P(A\cap B)=0.25.

AB
א.

מהי ההסתברות שאף אחד משני המאורעות לא יתרחש?

ב.

מהי ההסתברות שיתרחש AA או שלא יתרחש BB (לפחות אחד משני התנאים)?

שאלה 2 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של ופונקציה קדומהשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתון הסכום:

Sn=4⋅12−21⋅3+4⋅22−23⋅5+…+4n2−2(2n−1)(2n+1)S_n=\frac{4\cdot1^2-2}{1\cdot3}+\frac{4\cdot2^2-2}{3\cdot5}+\ldots+\frac{4n^2-2}{(2n-1)(2n+1)}
(1)

הראו כי לכל kk טבעי מתקיים: 2k2(2k+3)+4(k+1)2−2=2(k+1)2(2k+1)2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1).

(2)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nn טבעי מתקיים: Sn=2n22n+1S_n=\frac{2n^2}{2n+1}.

ב.

בתנועת נוער 80% מן החניכים משתתפים בטיולים, ו-45% מן החניכים משתתפים במחנה הקיץ.

(1)

הסבירו מדוע לפחות 25% מן החניכים משתתפים גם בטיולים וגם במחנה הקיץ.

(2)

נתון כי 30% מן החניכים משתתפים גם בטיולים וגם במחנה הקיץ. חשבו את ההסתברות שחניך שנבחר באקראי מבין המשתתפים בטיולים משתתף במחנה, ואת ההסתברות שחניך שנבחר באקראי מבין המשתתפים במחנה משתתף בטיולים. איזו מהן גדולה יותר?

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x), המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש אסימפטוטה אחת בלבד, y=0y=0, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-xx, (6,0)(6,0). נקודות הקיצון של f(x)f(x) הן (2,4)(2,4) ו-(8,−2)(8,-2), והן מסומנות בסרטוט.

נתונה הפונקציה g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}.

(2,4)(6,0)(8,-2)
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x) ואת האסימפטוטה האנכית שלה.

(2)

הראו כי g′(x)=−2f′(x)(f(x))3g'(x)=\frac{-2f'(x)}{(f(x))^3}, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(3)

מצאו כמה נקודות משותפות יש לגרף g(x)g(x) ולישר y=18y=\frac18, וכמה נקודות משותפות יש לו ולישר y=1y=1.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=6x(x2+1)2f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}, המוגדרת לכל xx. g(x)g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), וגרף g(x)g(x) עובר דרך הנקודה (0,1)(0,1).

(1)

הראו כי הנגזרת של הפונקציה h(x)=−3x2+1h(x)=\frac{-3}{x^2+1} היא f(x)f(x).

(2)

מצאו את g(x)g(x).

(3)

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x) וקבעו את סוגה, ומצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x).

שאלה 3 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלת ביניים · בינונית

מטילים שלוש קוביות משחק הוגנות ומחשבים את מכפלת שלושת המספרים שהתקבלו.

א.

מצאו את ההסתברות שהמכפלה אינה מתחלקת ב-55.

ב.

מצאו את ההסתברות שהמכפלה מתחלקת ב-1010.

שאלה 4 · הסתברות: משאל בקאנטרי - טבלה עם פרמטר, הסתברות מותנית, איחוד וברנולישאלה מלאה · בינונית

בקאנטרי גדול הועלתה הצעה להאריך את שעות הפתיחה של הבריכה בערב. בעקבות זאת נערך משאל ובו השתתפו כל המנויים הוותיקים וכל המנויים החדשים.

על פי תוצאות המשאל התברר כי 60% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם מנויים ותיקים. עוד התברר כי מספר המנויים הוותיקים שבעד ההצעה גדול פי 2 ממספר המנויים החדשים שנגד ההצעה. מבין המשתתפים במשאל לא היו נמנעים.

נסמן ב-pp את ההסתברות לבחור באקראי מנוי שבעד ההצעה מבין כל המנויים שהשתתפו במשאל.

א.

בחרו באקראי אחד מן המנויים החדשים. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

ב.

ידוע כי ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי מבין המנויים הוותיקים הוא בעד ההצעה, גדולה ב-27\frac27 מן ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי מבין המנויים החדשים הוא בעד ההצעה.

חשבו את הערך של pp.

ג.

בחרו באקראי אחד מן המשתתפים במשאל. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים האלה: (1) המשתתף שנבחר הוא מנוי חדש. (2) המשתתף שנבחר בעד ההצעה.

ד.

בחרו באקראי 6 מן המשתתפים במשאל. ידוע כי כל השישה שנבחרו הם מנויים חדשים. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד ההצעה וגם לפחות שניים מהם נגד ההצעה?

שאלה 5 · נוסחת האיחוד עם פרמטר: ערך נתון וערך גדול ביותר אפשרישאלה קצרה · קשה

AA ו-BB הם שני מאורעות באותו מרחב מדגם. נתון: P(A)=xP(A)=x, P(B)=2xP(B)=2x, P(A∩B)=0.5xP(A\cap B)=0.5x, כאשר x>0x>0.

א.

נתון גם כי P(A∪B)=0.75P(A\cup B)=0.75. מצאו את xx, ואת ההסתברות שיתרחש BB ולא יתרחש AA.

ב.

בלי הנתון של סעיף א (כלומר, כש-P(A∪B)P(A\cup B) אינו ידוע), מצאו את הערך הגדול ביותר האפשרי של xx. נמקו.

שאלה 6 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלת ביניים · קשה

בוחרים באקראי מספר שלם מבין המספרים 1,2,…,1001,2,\ldots,100.

א.

מהי ההסתברות שהמספר שנבחר מתחלק ב-22, ב-33 או ב-55 (לפחות באחד מהם)?

ב.

מהי ההסתברות שהמספר שנבחר מתחלק בדיוק באחד מהמספרים 22, 33, 55?

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.