שאלות פתוחות: הסתברות של איחוד מאורעות - כיתה י"א 5 יח"ל

הסתברות של איחוד מאורעות - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים הסתברות של איחוד שלושה מאורעות בהטלת קובייה, מחשבים הסתברויות על מכפלת שלוש קוביות ועל מספר שנבחר מ-1 עד 100, ומחשבים הסתברויות מתוך נתונים על המשלים של איחוד וחיתוך. יש גם שאלה על עובדי חברה. רוב השאלות קלות ובינוניות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שיוצא ל-Word.

30 שאלותקלה: 11בינונית: 16קשה: 3

שאלה 1 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלה קצרה · קלה

מטילים קובייה הוגנת פעם אחת. מגדירים שלושה מאורעות: AAA - "התקבל מספר זוגי", BBB - "התקבל מספר ראשוני", CCC - "התקבל מספר גדול מ-333".

א.

חשבו את P(A∪B∪C)P(A\cup B\cup C)P(A∪B∪C).

ב.

חשבו את ההסתברות שיתרחש בדיוק אחד משלושת המאורעות.

שאלה 2 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלת ביניים · בינונית

מטילים שלוש קוביות משחק הוגנות ומחשבים את מכפלת שלושת המספרים שהתקבלו.

א.

מצאו את ההסתברות שהמכפלה אינה מתחלקת ב-555.

ב.

מצאו את ההסתברות שהמכפלה מתחלקת ב-101010.

שאלה 3 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלת ביניים · קשה

בוחרים באקראי מספר שלם מבין המספרים 1,2,…,1001,2,\ldots,1001,2,…,100.

א.

מהי ההסתברות שהמספר שנבחר מתחלק ב-222, ב-333 או ב-555 (לפחות באחד מהם)?

ב.

מהי ההסתברות שהמספר שנבחר מתחלק בדיוק באחד מהמספרים 222, 333, 555?

שאלה 4 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלה קצרה · קלה

AAA ו-BBB הם מאורעות במרחב מדגם. נתון: P(A‾∪B‾)=0.7P(\overline{A}\cup\overline{B})=0.7P(A∪B)=0.7, P(A∪B)=0.9P(A\cup B)=0.9P(A∪B)=0.9, P(A)=0.5P(A)=0.5P(A)=0.5.

א.

מצאו את P(B)P(B)P(B).

ב.

חשבו את ההסתברות שיתרחש בדיוק אחד משני המאורעות.

שאלה 5 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלה קצרה · בינונית

בוחרים באקראי נקודה (x,y)(x,y)(x,y) בתוך ריבוע היחידה 0≤x≤10\le x\le 10≤x≤1, 0≤y≤10\le y\le 10≤y≤1 (ההסתברות לבחור נקודה בתחום מסוים שווה ליחס בין שטח התחום לשטח הריבוע). מגדירים: AAA - "x<12x<\frac{1}{2}x<21​", BBB - "הנקודה נמצאת מעל הגרף של y=x2y=x^2y=x2". בסרטוט מתוארים הריבוע, הגרף והישר x=12x=\frac{1}{2}x=21​.
y=x2
-0.20.20.40.60.81.01.2-0.20.20.40.60.81.01.2

א.

חשבו את P(B)P(B)P(B).

ב.

חשבו את P(A∪B)P(A\cup B)P(A∪B).

שאלה 6 · הסתברות מותנית: האחוז המשותף כנעלם, עובדים מהבית ורכבי חברהשאלה מלאה · קשה

בחברה גדולה חלק מן העובדים עובדים מהבית והשאר עובדים במשרד. לחלק מן העובדים יש רכב חברה ולשאר אין. אחוז העובדים מהבית מבין העובדים שיש להם רכב חברה שווה לאחוז העובדים שאין להם רכב חברה מבין העובדים מהבית. 30% מן העובדים עובדים מהבית. בוחרים באקראי עובד מבין עובדי החברה. ההסתברות שהעובד שנבחר עובד מהבית או שיש לו רכב חברה היא 0.7.

א.

מצאו מהו אחוז העובדים מהבית מבין העובדים שיש להם רכב חברה.

ב.

בוחרים באקראי עובד מבין העובדים שאין להם רכב חברה. מהי ההסתברות שהוא עובד מהבית?

ג.

בוחרים באקראי nnn עובדים מבין העובדים שאין להם רכב חברה. מהו המספר הקטן ביותר nnn שעבורו ההסתברות שייבחר לפחות עובד אחד מהבית גדולה מ-0.9?

ד.

בחברה אחרת מתקיים אותו שוויון בין שני האחוזים, אבל האחוז המשותף הוא ttt כלשהו (0<t<10<t<10<t<1), ויש בה עובדים מהבית. הוכיחו כי בחברה זו אחוז העובדים שיש להם רכב חברה גדול מאחוז העובדים מהבית אם ורק אם t<12t<\frac12t<21​.

שאלה 7 · הסתברות של איחוד מאורעותשאלה קצרה · קלה

במרחב מדגם נתונים שני מאורעות, AAA ו-BBB. נתון: P(A)=0.45P(A)=0.45P(A)=0.45, P(Bˉ)=0.35P(\bar{B})=0.35P(Bˉ)=0.35, P(A∩B)=0.25P(A\cap B)=0.25P(A∩B)=0.25.
AB

א.

מהי ההסתברות שאף אחד משני המאורעות לא יתרחש?

ב.

מהי ההסתברות שיתרחש AAA או שלא יתרחש BBB (לפחות אחד משני התנאים)?

שאלה 8 · דגימה בלי החזרה: מבחן נגינה, מציאת מספר הקטעים והסתברות מותניתשאלה מלאה · בינונית

כדי להתקבל לתזמורת נוער יש לעבור מבחן נגינה. כל הקטעים במבחן הם מתוך מאגר שיש בו nnn קטעי נגינה שונים, והמועמדים יכולים להתכונן למבחן באמצעותו. ביום המבחן, כל מועמד מוציא באקראי מתוך קופסה שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה. בכל פתק כתוב שם של קטע אחד מתוך המאגר; מספר הפתקים בקופסה שווה למספר הקטעים במאגר, ובכל פתק כתוב קטע אחר. לאחר שהמועמד הוציא שלושה פתקים, הוא מחזיר אותם לקופסה.
המועמד יתקבל לתזמורת אם ינגן היטב לפחות שניים מתוך שלושת הקטעים שבפתקים שהוציא.
מאיה התכוננה למבחן באמצעות המאגר. היא יודעת לנגן היטב רק 16 קטעים מתוך nnn הקטעים שבמאגר, ואת שאר הקטעים היא אינה יודעת לנגן היטב.
ידוע כי ההסתברות שמאיה יודעת לנגן היטב לפחות קטע אחד מבין שני הקטעים שבשני הפתקים הראשונים שהיא מוציאה היא 815\frac{8}{15}158​.

א.

(1)

מצאו את nnn.

(2)

מהי ההסתברות שמאיה תתקבל לתזמורת?

ב.

אם ידוע כי מאיה התקבלה לתזמורת, מהי ההסתברות שהיא לא ידעה לנגן היטב את הקטע שבפתק הראשון שהוציאה?

ג.

גם עומר התכונן למבחן באמצעות המאגר. הוא יודע לנגן היטב 32 קטעים מתוך nnn הקטעים שבמאגר, ואת השאר אינו יודע לנגן היטב.

האם ההסתברות שעומר ינגן היטב את כל שלושת הקטעים שבפתקים שהוא מוציא גדולה פי 8 מן ההסתברות שמאיה תנגן היטב את כל שלושת הקטעים שבפתקים שהיא מוציאה? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · נוסחת האיחוד עם פרמטר: ערך נתון וערך גדול ביותר אפשרישאלה קצרה · קשה

AAA ו-BBB הם שני מאורעות באותו מרחב מדגם. נתון: P(A)=xP(A)=xP(A)=x, P(B)=2xP(B)=2xP(B)=2x, P(A∩B)=0.5xP(A\cap B)=0.5xP(A∩B)=0.5x, כאשר x>0x>0x>0.

א.

נתון גם כי P(A∪B)=0.75P(A\cup B)=0.75P(A∪B)=0.75. מצאו את xxx, ואת ההסתברות שיתרחש BBB ולא יתרחש AAA.

ב.

בלי הנתון של סעיף א (כלומר, כש-P(A∪B)P(A\cup B)P(A∪B) אינו ידוע), מצאו את הערך הגדול ביותר האפשרי של xxx. נמקו.

שאלה 10 · דגימה בלי החזרה: מבחן קבלה לחוג עם מאגר נתוןשאלה מלאה · קלה

במבחן קבלה לחוג רובוטיקה יש מאגר של 30 שאלות. כל מועמד מוציא באקראי מתוך קופסה שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה, ובכל פתק כתובה שאלה אחרת מהמאגר. המועמד יתקבל לחוג אם יענה נכון על שתי שאלות לפחות מתוך השלוש.
יעל יודעת לענות נכון על 12 שאלות מתוך 30 השאלות שבמאגר, ועל השאר אינה יודעת לענות.

א.

מהי ההסתברות שיעל תדע לענות על שאלה אחת לפחות מבין שתי השאלות שבשני הפתקים הראשונים?

ב.

(1)

מהי ההסתברות שיעל תענה נכון על בדיוק שתיים מתוך שלוש השאלות?

(2)

מהי ההסתברות שיעל תתקבל לחוג?

ג.

ידוע כי יעל התקבלה לחוג. מהי ההסתברות שהיא לא ידעה לענות על השאלה שבפתק הראשון?

עוד 12 שאלות על הסתברות של איחוד מאורעות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הסתברות: משאל בקאנטרי - טבלה עם פרמטר, הסתברות מותנית, איחוד וברנולי (שאלה מלאה · בינונית)
בקאנטרי גדול הועלתה הצעה להאריך את שעות הפתיחה של הבריכה בערב. בעקבות זאת נערך משאל ובו השתתפו כל המנויים הוותיקים וכל המנויים החדשים. על פי…
הסתברות: טבלה דו-ממדית מנתונים יחסיים, מותנית, איחוד וברנולי (שאלה מלאה · קלה)
במפעל גדול נערך משאל בין כל עובדי משמרת הבוקר וכל עובדי משמרת הערב: האם הם בעד מעבר לשבוע עבודה מקוצר. מבין המשתתפים במשאל לא היו נמנעים.…
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $a$ .
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של שורש, $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
בדקו כי השוויון מתקיים בעבור $n=2$ ובעבור $n=4$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)$ .
הסתברות של איחוד מאורעות (שאלה קצרה · בינונית)
בעיר מסוימת ל-60% מן התושבים יש מכונית, ול-75% מן התושבים יש אופניים.
הסתברות מותנית וברנולי: מתאמנים ביוגה וצמחונים (שאלה מלאה · קלה)
במועדון כושר גדול חלק מן המנויים מתאמנים ביוגה והשאר אינם מתאמנים ביוגה. חלק מן המנויים צמחונים והשאר אינם צמחונים. 40% מן המתאמנים ביוגה הם…
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
משאל במפעל: הסתברות ש"ממשמרת הערב או בעד ההצעה" (שאלה קצרה · קלה)
במפעל גדול נערך משאל בין כל עובדי משמרת הבוקר וכל עובדי משמרת הערב: האם הם בעד מעבר לשבוע עבודה מקוצר. מבין המשתתפים במשאל לא היו נמנעים.…
הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי: מנגנים בכלי נגינה ומשתתפים בנבחרת ספורט (שאלה מלאה · בינונית)
בשכבה י"א של תיכון גדול חלק מן התלמידים מנגנים בכלי נגינה והשאר אינם מנגנים. בשכבה זו חלק מן התלמידים משתתפים בנבחרת ספורט והשאר אינם…
חסם תחתון להסתברות החיתוך בעזרת נוסחת האיחוד (שאלה קצרה · בינונית)
בתנועת נוער 80% מן החניכים משתתפים בטיולים, ו-45% מן החניכים משתתפים במחנה הקיץ.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

דגימה בלי החזרה: מבחן קבלה, מציאת מספר השאלות והסתברות מותנית · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
כדי להתקבל ללימודים במכללה מסוימת יש לעבור מבחן קבלה. כל השאלות במבחן הן מתוך מאגר שיש בו $n$ שאלות שונות. לנבחנים יש גישה למאגר והם יכולים להתכונן למבחן…
הסתברות: טבלה דו-ממדית עם פרמטר, הסתברות מותנית, איחוד וברנולי · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
במכללה גדולה הועלתה הצעה לקצר את הפסקת הצהריים כדי לסיים מוקדם יותר את יום הלימודים. בעקבות זאת ערכו משאל ובו השתתפו כל תלמידי שנה א' וכל תלמידי שנה ב'. על פי…
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי: מדריכים בתנועת נוער ובעלי רישיון נהיגה · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 3
בשכבה י"א של תיכון עירוני גדול חלק מן התלמידים הם מדריכים בתנועת נוער והשאר אינם מדריכים. בשכבה זו לחלק מן התלמידים יש רישיון נהיגה ולשאר אין רישיון נהיגה. חצי…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הסתברות: טבלה דו-ממדית - מחזור והתנדבות (שאלה מלאה · בינונית)
ביישוב מסוים מעודדים משפחות למחזר בקבוקי זכוכית, אריזות פלסטיק ועוד. ביישוב זה מעודדים משפחות גם להתנדב…
הסתברות: טבלה דו-ממדית - ספורט ונגינה (שאלה מלאה · קלה)
בבית ספר מסוים מעודדים תלמידים להשתתף בחוג ספורט. בבית הספר מעודדים תלמידים גם לנגן בכלי נגינה. בסקר שנערך…
הסתברות: מהסתברות מותנית אל הטבלה, ובדיקת אי-תלות (שאלה מלאה · קלה)
ביישוב מסוים יש 600 משפחות. חלק מן המשפחות ממחזרות, וחלק מן המשפחות מתנדבות במוסדות היישוב. בוחרים באקראי…