מבחן לדוגמה: מאורעות תלויים ובלתי תלויים - כיתה י"א 5 יח"ל

השלימו טבלה דו-ממדית של מספרי המשתתפים לפי גיל (צעיר / מבוגר) ולפי רכיבה על אופניים.

מה ההסתברות שמבוגר שנבחר באקראי מבין המבוגרים שהשתתפו בסקר רוכב על אופניים?

בוחרים באקראי שלושה מבוגרים מבין תושבי העיר. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם רוכב על אופניים?

בוחרים באקראי משתתף שאינו רוכב על אופניים. מה ההסתברות שהוא צעיר?

האם המאורעות "רוכב על אופניים" ו"צעיר" תלויים זה בזה? נמקו.

נסמן ב-$W$ את מספר הנשים. הביעו באמצעות $W$ את מספר הנשים הקוראות ואת מספר הגברים, והראו שההסתברות לבחור גבר היא $\frac13$.

ידוע שהמאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר/ה קורא/ת עיתון" בלתי תלויים. מהי ההסתברות שחבר מועדון שנבחר באקראי קורא עיתון? מהי ההסתברות לבחור גבר שקורא עיתון?

נבחר באקראי חבר/ת מועדון, וידוע שהוא/היא קורא/ת עיתון. מהי ההסתברות שזו אישה?

בוחרים באקראי 4 חברי מועדון. מהי ההסתברות שבדיוק 2 מהם גברים שקוראים עיתון?

האם המאורעות $A$ ו-$B$ בלתי תלויים? נמקו.

חשבו את $P(A\mid B)$.

מצאו את $P(A)$ ואת $P(B)$.

מצאו את ההסתברות שלפחות אחד משני המאורעות לא יתרחש.

ההסתברות שמתאמן שנבחר באקראי עבר בדיוק אחד מהמבחנים היא $0.43$. מצאו את $p$.

הוכיחו שלכל ערך של $p$ (ולא רק עבור הערך שמצאתם) המאורעות "עבר את המבחן הראשון" ו"עבר את המבחן השני" תלויים.

הביעו באמצעות $p$ ו-$m$ את ההסתברות שחבר שנבחר באקראי הוא גבר.

נתון שהמאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר חבר שמתאמן בבריכה" בלתי תלויים. לאילו ערכים של $m$ סביר יותר שחבר שמתאמן בבריכה הוא אישה? הביעו באמצעות $p$.

מכאן והלאה אין נתון על אי-תלות. נתון: $p=0.6$, $m=1.5$, וההסתברות שחבר שנבחר באקראי מתאמן בבריכה היא $0.4$.

מהי ההסתברות שחבר שמתאמן בבריכה הוא גבר? האם המאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר חבר שמתאמן בבריכה" בלתי תלויים? נמקו.

עבור $p=0.6$ ו-$m=1.5$ (בלי הנתון $0.4$), מצאו את כל הערכים האפשריים של ההסתברות שחבר מתאמן בבריכה, ואת הערכים שבעבורם סביר יותר שחבר שמתאמן בבריכה הוא אישה.