שאלות פתוחות: מאורעות תלויים ובלתי תלויים - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על מאורעות תלויים ובלתי תלויים לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים הסתברויות של שני מאורעות בלתי תלויים מתוך P(A|B) ו-P(B|A), מתוך הסתברות האיחוד או מתוך ההסתברות שאף אחד מהם לא יתרחש, ובודקים בסקר במועדון כושר ובחנות מקוונת אם שני מאורעות תלויים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. המורה יכול לשלב את השאלות בבוחן או במבחן, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא ונשמרת בקובץ Word.

42 שאלותקלה: 13בינונית: 22קשה: 7

שאלה 1 · מאורעות תלויים ובלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

AAA ו-BBB הם מאורעות בלתי תלויים. נתון: P(A∣B)=0.5P(A\mid B)=0.5P(A∣B)=0.5, P(B∣A)=0.4P(B\mid A)=0.4P(B∣A)=0.4.

א.

חשבו את P(A∪B)P(A\cup B)P(A∪B).

ב.

האם המאורעות AAA ו-B‾\overline{B}B בלתי תלויים? נמקו.

שאלה 2 · מאורעות תלויים ובלתי תלוייםשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני מאורעות בלתי תלויים AAA ו-BBB במרחב מדגם. ידוע כי ההסתברות שאף אחד משני המאורעות לא יתרחש היא 0.120.120.12, וההסתברות שיתרחש AAA בלבד (כלומר AAA יתרחש ו-BBB לא יתרחש) היא 0.280.280.28.

א.

מצאו את P(A)P(A)P(A) ואת P(B)P(B)P(B).

ב.

מצאו את ההסתברות שלפחות אחד משני המאורעות לא יתרחש.

שאלה 3 · הסתברות עם פרמטרים: מתי ההכרעה בהסתברות מותנית הפוכה מתהפכתשאלה מלאה · קשה

בסקר בין חברי מועדון כושר נמצא: החלק מבין הגברים שמתאמנים בבריכה הוא ppp (0<p<10<p<10<p<1).
מספר הנשים במועדון גדול פי mmm ממספר הגברים שמתאמנים בבריכה (m>0m>0m>0). כל חבר במועדון הוא גבר או אישה.

א.

הביעו באמצעות ppp ו-mmm את ההסתברות שחבר שנבחר באקראי הוא גבר.

ב.

נתון שהמאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר חבר שמתאמן בבריכה" בלתי תלויים. לאילו ערכים של mmm סביר יותר שחבר שמתאמן בבריכה הוא אישה? הביעו באמצעות ppp.

ג.

מכאן והלאה אין נתון על אי-תלות. נתון: p=0.6p=0.6p=0.6, m=1.5m=1.5m=1.5, וההסתברות שחבר שנבחר באקראי מתאמן בבריכה היא 0.40.40.4.

מהי ההסתברות שחבר שמתאמן בבריכה הוא גבר? האם המאורעות "נבחר גבר" ו-"נבחר חבר שמתאמן בבריכה" בלתי תלויים? נמקו.

ד.

עבור p=0.6p=0.6p=0.6 ו-m=1.5m=1.5m=1.5 (בלי הנתון 0.40.40.4), מצאו את כל הערכים האפשריים של ההסתברות שחבר מתאמן בבריכה, ואת הערכים שבעבורם סביר יותר שחבר שמתאמן בבריכה הוא אישה.

שאלה 4 · מאורעות תלויים ובלתי תלוייםשאלה קצרה · קלה

AAA ו-BBB הם מאורעות בלתי תלויים. נתון: P(A)=0.3P(A)=0.3P(A)=0.3, P(A∪B)=0.58P(A\cup B)=0.58P(A∪B)=0.58.

א.

מצאו את P(B)P(B)P(B).

ב.

מהי ההסתברות שיתרחש AAA ולא יתרחש BBB?

שאלה 5 · מאורעות תלויים ובלתי תלוייםשאלה קצרה · בינונית

AAA ו-BBB הם מאורעות בלתי תלויים במרחב מדגם, ו-P(A)>P(B)P(A)>P(B)P(A)>P(B). ההסתברות שיתרחש לפחות אחד מהם היא 0.920.920.92, וההסתברות ששניהם יתרחשו היא 0.480.480.48.

א.

מצאו את P(A)P(A)P(A) ואת P(B)P(B)P(B).

ב.

מצאו את ההסתברות ש-AAA יתרחש ו-BBB לא יתרחש.

שאלה 6 · טבלה דו-ממדית בפרמטר: אי-תלות, השוואת הסתברויות מותנות וברנולי הפוךשאלה מלאה · קשה

בחנות מקוונת גדולה בדקו את ההזמנות לפי סוג המשלוח (מהיר או רגיל) ולפי שביעות רצון הלקוח (מרוצה או לא מרוצה). נמצא שמספר ההזמנות במשלוח רגיל שהלקוח מרוצה בהן גדול פי 2 ממספר ההזמנות במשלוח מהיר שהלקוח מרוצה בהן, ושבדיוק 38\frac3883​ מההזמנות במשלוח רגיל הן הזמנות שהלקוח מרוצה בהן. נסמן ב-ppp את ההסתברות שהזמנה שנבחרה באקראי היא במשלוח מהיר והלקוח מרוצה בה.

א.

הביעו באמצעות ppp את ההסתברות שהזמנה שנבחרה באקראי היא במשלוח מהיר והלקוח אינו מרוצה בה, ומצאו את תחום הערכים האפשרי של ppp.

ב.

מצאו את הערך של ppp שבעבורו המאורעות "משלוח מהיר" ו"לקוח מרוצה" בלתי תלויים.

ג.

מצאו את כל ערכי ppp שבעבורם ההסתברות שהזמנה היא במשלוח מהיר, בהינתן שהלקוח מרוצה, גדולה מההסתברות שהזמנה היא במשלוח מהיר, בהינתן שהלקוח אינו מרוצה.

ד.

בוחרים באקראי 4 הזמנות. ההסתברות שאף אחת מהן אינה הזמנה במשלוח רגיל שהלקוח מרוצה בה היא 0.4096.

מצאו את ppp, ואת ההסתברות שהלקוח מרוצה בהינתן שההזמנה במשלוח מהיר.

שאלה 7 · שאלות קצרות בדרך לבגרות: פונקציה אי-זוגית, אי-תלות, אסימפטוטות וזוויות בכוכבשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2. נתון: ∫02f(x)dx=−4\int_0^2 f(x)dx=-4∫02​f(x)dx=−4.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

חשבו את ∫−20f(x)dx\int_{-2}^{0}f(x)dx∫−20​f(x)dx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2.

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB0.20.20.20.50.50.5
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ0.40.40.4111

	$A$	סה"כ
$B$	$0.2$	$0.5$
$\bar B$
סה"כ	$0.4$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

השלימו את הטבלה, ומצאו את P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B)P(Aˉ∩Bˉ).

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=6x2−5x+12x2−2x−4f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}f(x)=2x2−2x−46x2−5x+1​.

(1)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים, וחשבו את שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2)g(x)=f(x−2). מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

ד.

במעגל שמרכזו OOO חסום כוכב שקודקודיו AAA, BBB, CCC, DDD, EEE מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת ABABAB - 60∘60^\circ60∘, הקשת BCBCBC - 80∘80^\circ80∘, הקשת CDCDCD - 70∘70^\circ70∘, הקשת DEDEDE - 90∘90^\circ90∘, הקשת EAEAEA - 60∘60^\circ60∘.
OABCDE

(1)

חשבו את הזווית ∢CAD\sphericalangle CAD∢CAD שבקודקוד AAA.

(2)

חשבו את סכום חמש הזוויות שבקודקודי הכוכב.

שאלה 8 · מאורעות תלויים ובלתי תלוייםשאלה קצרה · בינונית

AAA ו-BBB הם מאורעות בלתי תלויים, ו-P(A)<P(B)P(A)<P(B)P(A)<P(B). נתון: P(A∣B)+P(B∣A)=1.1P(A\mid B)+P(B\mid A)=1.1P(A∣B)+P(B∣A)=1.1, P(A∩B)=0.3P(A\cap B)=0.3P(A∩B)=0.3.

א.

מצאו את P(A)P(A)P(A) ואת P(B)P(B)P(B).

ב.

חשבו את ההסתברות שיתרחש בדיוק אחד משני המאורעות.

שאלה 9 · תלות, משוואה ריבועית בהסתברות והסתברות מותנית: חיסון במפעלשאלה מלאה · קשה

במפעל גדול, חלק מהעובדים עובדים במשמרת יום וחלקם במשמרת לילה. כל עובדי משמרת הלילה התחסנו נגד שפעת. מבין עובדי משמרת היום, חלק התחסנו וחלק לא התחסנו.

א.

הוכיחו שהמאורעות "העובד עובד במשמרת יום" ו"העובד התחסן" תלויים.

ב.

בוחרים באקראי 2 עובדים מהמפעל. ההסתברות שבדיוק אחד מהם לא התחסן היא 0.42. ידוע שיותר ממחצית מעובדי המפעל התחסנו. מצאו את ההסתברות שעובד שנבחר באקראי לא התחסן.

ג.

נתון גם ש-40% מעובדי המפעל עובדים במשמרת לילה. בוחרים באקראי עובד ממשמרת היום. מה ההסתברות שהוא התחסן?

ד.

בוחרים באקראי 5 עובדים מהמפעל. מה ההסתברות שלפחות שניים מהם עובדים במשמרת יום והתחסנו?

שאלה 10 · הסתברות: חוג רובוטיקה - טבלה דו-ממדית ואי-תלותשאלה מלאה · קלה

בשכבה י"א בבית ספר יש 400 בנים. 75% מהבנים משתתפים בחוג רובוטיקה.
מספר הבנות בשכבה גדול פי 1.4 ממספר הבנים שמשתתפים בחוג.

א.

כמה בנות יש בשכבה? מהי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מהשכבה הוא בן?

ב.

נתון שהמאורעות "נבחר בן" ו-"נבחר תלמיד שמשתתף בחוג" הם בלתי תלויים.

הסבירו מדוע ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מהשכבה משתתף בחוג היא 0.750.750.75, ומצאו כמה בנות משתתפות בחוג.

ג.

השלימו את הטבלה הדו-ממדית של מספרי התלמידים בשכבה:
משתתפים בחוגלא משתתפים בחוגסה"כ
בנים
בנות
סה"כ

ד.

נבחר באקראי תלמיד מבין המשתתפים בחוג. מה סביר יותר, שהוא בן או שהיא בת? חשבו את שתי ההסתברויות.

עוד 21 שאלות על מאורעות תלויים ובלתי תלויים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
מערכת חשמלית בנויה משלושה רכיבים, $A$ , $B$ ו- $C$ , הפועלים באופן בלתי תלוי זה בזה. המערכת פועלת אם רכיב $A$ פועל וגם לפחות אחד מהרכיבים $B$ …
הסתברות: שני מבחני כושר - נעלם מנתון מותנה, תלות ומספר ניסויים מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
במכון כושר נערכים שני מבחני כושר. נסמן ב- $p$ את ההסתברות שמתאמן שנבחר באקראי עבר את המבחן הראשון ( $0<p<1$ ). ידוע כי ההסתברות שמתאמן עבר רק…
מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · קלה)
בחברה יש שני סניפים: צפון ודרום. 35% מהעובדים עובדים בסניף הצפון, והשאר בסניף הדרום. ידוע שהמאורעות "נבחר עובד מסניף הצפון" ו-"נבחר עובד שיש…
מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
במשחק קלפים בין יעל לנועם, כל סיבוב מסתיים באחת משלוש תוצאות: ניצחון ליעל, ניצחון לנועם או תיקו. ההסתברות שיעל מנצחת בסיבוב בודד היא $p$ ,…
הסתברות עם פרמטר: מתי אי-תלות אפשרית ומתי המותנית עוברת את חצי (שאלה מלאה · קשה)
במועדון ספורט גדול מאוד: 40% מהנשים מתאמנות בשעות הבוקר, ו-10% מהגברים מתאמנים בשעות הבוקר. מספר הגברים במועדון גדול פי $a$ ממספר הנשים…
טבלה דו-ממדית במספרים: רכיבה על אופניים לפי גיל (שאלה מלאה · קלה)
בעיר גדולה נערך סקר בקרב 800 תושבים, ובו נבדק מי רוכב על אופניים. 320 מהמשתתפים הם צעירים, והשאר מבוגרים. 60% מהצעירים רוכבים על אופניים,…
שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
$\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx$
האם אפשר שהמאורעות יהיו בלתי תלויים לערך כלשהו של הפרמטר (שאלה קצרה · קשה)
במועדון ספורט גדול מאוד: 40% מהנשים מתאמנות בשעות הבוקר, ו-10% מהגברים מתאמנים בשעות הבוקר. מספר הגברים במועדון גדול פי $a$ ממספר הנשים…
טבלה דו-ממדית, תלות ונוסחת ברנולי: הסעות בבית ספר (שאלה מלאה · קלה)
בבית ספר גדול, 60% מהתלמידים גרים בעיר והשאר גרים מחוץ לעיר. כל התלמידים שגרים מחוץ לעיר נוסעים לבית הספר בהסעה. מבין התלמידים שגרים בעיר,…
הסתברות: לקוחות מבוגרים וצעירים - יחסים מילוליים ואי-תלות (שאלה מלאה · בינונית)
ערכו סקר בין הלקוחות של רשת חנויות ומצאו: 60% מהלקוחות המבוגרים משלמים בכרטיס אשראי. מספר הלקוחות הצעירים גדול פי 2 ממספר הלקוחות המבוגרים…
שני מבחני כושר: מציאת פרמטר והוכחת תלות לכל ערך (שאלת ביניים · קשה)
במכון כושר נערכים שני מבחני כושר. נסמן ב- $p$ את ההסתברות שמתאמן שנבחר באקראי עבר את המבחן הראשון ( $0<p<1$ ). ידוע כי ההסתברות שמתאמן עבר רק…
הסתברות מסקר: אי-תלות, הסתברות מותנית וברנולי במספרים (שאלה מלאה · קלה)
במועדון גדול מאוד נערך סקר: 25% מהנשים חברות המועדון קוראות עיתון בוקר. מספר הגברים במועדון גדול פי 2 ממספר הנשים שקוראות עיתון בוקר.
טבלה דו-ממדית בפרמטר: התנדבות בקרב בנים ובנות (שאלה מלאה · בינונית)
בבית ספר גדול נערך סקר ובו נבדק אם התלמידים מתנדבים בקהילה. בסקר השתתפו תלמידים רבים – בנים ובנות. בסקר נמצא שמספר הבנות המתנדבות גדול פי 2…
מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
במפעל עובדים 250 עובדים: 100 עובדים במשמרת לילה והשאר במשמרת יום. 60 מעובדי הלילה ו-110 מעובדי היום מגיעים לעבודה בתחבורה ציבורית. בוחרים…
הסתברות: כדורים כחולים שמוצאים וכדורים אדומים שמוחזרים (שאלה מלאה · בינונית)
בשקית יש שלושה כדורים כחולים וארבעה כדורים אדומים. נועם מוציא באקראי כדור מן השקית. אם הכדור אדום – הוא מחזיר אותו לשקית, ואם הכדור כחול –…
טבלה דו-ממדית עם תא אפס: תלות בין מאורעות והתפלגות ברנולי (שאלה מלאה · בינונית)
בחברה גדולה, חלק מהעובדים עובדים בסניף הצפוני של החברה, וחלקם עובדים בסניף הדרומי.
מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
$A$ ו- $B$ הם מאורעות במרחב מדגם, ונתון: $P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ . ידוע שכל תוצאה שבה מתרחש $A$ מתרחש בה גם $B$ .
הסתברות עם פרמטר: אי-תלות, הסתברות מותנית וברנולי (שאלה מלאה · בינונית)
ערכו סקר בין תלמידי תיכון גדול ומצאו: 30% מהבנים מנגנים בכלי נגינה. מספר הבנות גדול פי $a$ ממספר הבנים שמנגנים.
מאורעות תלויים ובלתי תלויים (שאלה קצרה · בינונית)
בכיתה גדולה 40% מהתלמידים הן בנות, ו-15% מכלל התלמידים מרכיבים משקפיים. המאורעות "נבחרה בת" ו-"נבחר/ה תלמיד/ה שמרכיב/ה משקפיים" בלתי תלויים.
הוכחת תלות כשכל עובדי הלילה התחסנו (שאלה קצרה · בינונית)
במפעל גדול, חלק מהעובדים עובדים במשמרת יום וחלקם במשמרת לילה. כל עובדי משמרת הלילה התחסנו נגד שפעת. מבין עובדי משמרת היום, חלק התחסנו וחלק…
מועדון וקוראי עיתון: הסתברויות מאי-תלות (שאלת ביניים · בינונית)
במועדון גדול מאוד נערך סקר: 25% מהנשים חברות המועדון קוראות עיתון בוקר. מספר הגברים במועדון גדול פי 2 ממספר הנשים שקוראות עיתון בוקר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
הסתברות: בנים, בנות וספורט - יחסים מילוליים ואי-תלות · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 2
ערכו סקר בין תלמידי בית הספר ומצאו: 80% מהבנים עוסקים בספורט. מספר הבנות בבית הספר גדול פי 1.2 ממספר הבנים שעוסקים בספורט.
טבלה דו-ממדית בפרמטר: שליטה באנגלית בקרב מבוגרים וצעירים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
בעיר גדולה בישראל נערך סקר ובו נבדקה רמת השליטה בשפה האנגלית בקרב תושבי העיר. בסקר השתתפו אנשים רבים – מבוגרים וצעירים. בסקר נמצא שמספר המבוגרים ששולטים באנגלית…
הסתברות: הוצאה עם החזרה רק לחלק מהתוצאות - עץ תלת-שלבי, הסתברות מותנית ו"לפחות אחת" · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 3
בקופסה יש שלוש סוכריות בטעם תות ושתי סוכריות בטעם מנטה. ליאור מוציא באקראי סוכרייה מן הקופסה. אם הסוכרייה היא בטעם מנטה – הוא מחזיר אותה לקופסה, ואם היא בטעם…
טבלה דו-ממדית עם תא אפס: תלות בין מאורעות והתפלגות ברנולי · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
בבית ספר גדול, חלק מהתלמידים גרים ביישובים עירוניים, וחלקם גרים ביישובים כפריים.
הסתברות עם פרמטר: אי-תלות, הסתברות מותנית וברנולי · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
ערכו סקר בין משתתפי כינוס בחירות ומצאו: 20% מהנשים קוראות עיתון בוקר. מספר הגברים גדול פי $a$ ממספר הנשים שקוראות עיתון בוקר.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הסתברות: מתי שני מאורעות נעשים בלתי תלויים (שאלה מלאה · קלה)
במועדון יש 50 חברים: 20 מבוגרים ו-30 צעירים. 18 מהצעירים משתמשים באפליקציה של המועדון. בוחרים באקראי חבר…
הסתברות מותנית: נתון הפוך כפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
בשכבה של תלמידי י"א, 50% מהתלמידים השתתפו בתגבור לקראת מבחן מתכונת והשאר לא השתתפו. 80% מבין המשתתפים בתגבור…
הסתברות: מציאת הסתברות לא ידועה מהסתברות מותנית הפוכה (שאלה מלאה · קלה)
במתחם דירות יש דירות הפונות לכיוון הפארק ודירות הפונות לכיוון הכביש. חלק מן הדירות משופצות, והשאר אינן…
הסתברות מותנית: משוואה מיחס בין אחוזים (שאלה מלאה · קלה)
במכללה מסוימת חלק מן הסטודנטים הם נשים והשאר גברים. 60% מן הסטודנטים עובדים לצד הלימודים. $\frac23$ מן…
הסתברות: מהסתברות מותנית אל הטבלה, ובדיקת אי-תלות (שאלה מלאה · קלה)
ביישוב מסוים יש 600 משפחות. חלק מן המשפחות ממחזרות, וחלק מן המשפחות מתנדבות במוסדות היישוב. בוחרים באקראי…