דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה) - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה) (הסתברות מותנית ותלות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה)
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה)שאלה קצרה · קלה

מחלה מסוימת פוגעת ב-5%5\% מכלל האוכלוסייה. פותחה בדיקת מעבדה לגילוי המחלה: עבור אדם חולה, ההסתברות שהבדיקה תצא חיובית היא 0.90.9; עבור אדם בריא, ההסתברות שהבדיקה תצא חיובית בטעות היא 0.10.1. לפניכם עץ ההסתברויות המתאר את הניסוי.

חיוביתשליליתחולהחיוביתשליליתבריאאדם
א.

אדם נבדק, ותוצאת הבדיקה הייתה חיובית. מהי ההסתברות שהוא חולה?

ב.

אדם אחר נבדק, ותוצאת הבדיקה הייתה שלילית. מהי ההסתברות שהוא בריא?

שאלה 2 · אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה)שאלה קצרה · קלה

בקופסה יש 25 כרטיסים, ו-5 מהם זוכים בפרס. דן מוציא באקראי שני כרטיסים בזה אחר זה, ללא החזרה.

א.

מהי ההסתברות ששני הכרטיסים שדן הוציא זוכים?

ב.

אילו היו בקופסה 10 כרטיסים זוכים מתוך 25 (פי 2), האם ההסתברות ששני הכרטיסים זוכים הייתה גדלה פי 2? נמקו.

שאלה 3 · אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה)שאלה קצרה · בינונית

מחלה מסוימת מצויה אצל 4%4\% מהאוכלוסייה. בדיקה מהירה לגילוי המחלה נותנת תוצאה חיובית אצל אדם חולה בהסתברות 0.80.8, ואצל אדם בריא בהסתברות 0.10.1. אדם עבר את הבדיקה פעמיים. בהינתן מצבו של האדם (חולה או בריא), תוצאות שתי הבדיקות בלתי תלויות זו בזו.

א.

שתי התוצאות היו חיוביות. מהי ההסתברות שהאדם חולה?

ב.

תוצאה אחת הייתה חיובית והאחרת שלילית. מהי ההסתברות שהאדם חולה? האם המידע הזה מגדיל או מקטין את ההסתברות שהאדם חולה, בהשוואה לאדם אקראי מהאוכלוסייה? נמקו.

שאלה 4 · שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של , פונקציה קדומה וזיהוי גרףשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל nn טבעי מתקיים:

312⋅22+522⋅32+…+2n+1n2(n+1)2=n(n+2)(n+1)2\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+\ldots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}
ב.

בשכבת י"א בבית ספר נערך סקר. 45% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה, ו-75% מן התלמידים בשכבה עוסקים בספורט.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. לפחות 20% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה וגם עוסקים בספורט.

II. ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שעוסק בספורט מבין התלמידים המנגנים בכלי נגינה קטנה מן ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שמנגן בכלי נגינה מבין התלמידים העוסקים בספורט.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x), המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה y=0y=0, ושתי נקודות חיתוך בלבד עם ציר ה-xx, ששיעוריהן הם (−2,0)(-2,0) ו-(4,0)(4,0). שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) מוצגים בסרטוט: (−6,−a)(-6,-a), (1,2a)(1,2a) ו-(9,−a2)\left(9,-\frac{a}{2}\right). aa הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}.

(-6,-a)(-2,0)(1,2a)(4,0)(9,-0.5a)
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

נתון כי לישר y=1a+2y=\frac{1}{a+2} ולגרף הפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק 3 נקודות משותפות.

(3)

מצאו את הערך של aa.

ד.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: f(x)=−16x(x2−4)3f(x)=\frac{-16x}{(x^2-4)^3}, המוגדרת בתחום x≠±2x\ne\pm2. לפונקציה f(x)f(x) אין נקודות קיצון, ובסרטוט מוצגת נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx.

(0,0)

g(x)g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x). הפונקציה g(x)g(x) מוגדרת בתחום x≠±2x\ne\pm2. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x) עובר דרך הנקודה (0,1.25)(0,1.25).

(1)

מצאו פונקציה g(x)g(x) המקיימת תנאים אלה.

לפניכם הגרפים I-IV.

(2)

אחד מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר פונקציה g(x)g(x) המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

שאלה 5 · אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה)שאלת ביניים · קשה

מחלה תורשתית מופיעה רק אצל אדם שיש לו שני עותקים של הגן aa (גנוטיפ aaaa). אדם בעל גנוטיפ AAAA או AaAa בריא, ואדם בעל גנוטיפ AaAa נקרא נשא. כל הורה מעביר לילדו, באקראי ובהסתברות שווה, אחד משני העותקים שלו, ללא תלות בהורה השני. דן ומיכל בריאים. לכל אחד מהם יש אח חולה, והוריהם של שניהם בריאים.

א.

מהי ההסתברות שהילד הראשון של דן ומיכל יהיה חולה?

ב.

לדן ולמיכל נולד ילד ראשון בריא. מהי ההסתברות שילדם השני יהיה חולה?

שאלה 6 · בדיקה רפואית עם שכיחות לא ידועה: מתי תוצאה חיובית משכנעת ובדיקות חוזרותשאלה מלאה · קשה

שכיחות מחלה באוכלוסייה היא pp (0<p<10<p<1). בדיקה למחלה נותנת תוצאה חיובית אצל 90%90\% מהחולים, ותוצאה חיובית (בטעות) אצל 5%5\% מהבריאים. כשאותו אדם נבדק כמה פעמים, תוצאות הבדיקות בלתי תלויות זו בזו בהינתן שהוא חולה, וכן בהינתן שהוא בריא.

א.

הביעו בעזרת pp את ההסתברות שאדם שקיבל תוצאה חיובית בבדיקה אחת אכן חולה.

ב.

לאילו ערכים של pp ההסתברות שמצאתם בסעיף א היא לפחות 0.50.5?

ג.

נתון p=0.01p=0.01. אדם קיבל תוצאה חיובית ונבדק שוב, וגם הבדיקה השנייה חיובית. מה ההסתברות שהוא חולה?

ד.

עבור p=0.01p=0.01: מהו המספר הקטן ביותר של בדיקות חיוביות ברצף, שאחריהן ההסתברות שהאדם חולה גדולה מ-0.990.99?

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.