שאלות פתוחות: אינטואיציות מוטעות ובעיות מהחיים (בדיקות רפואיות, גנטיקה) - כיתה י"א 5 יח"ל

מחלה מסוימת פוגעת ב-$5\%$ מכלל האוכלוסייה. פותחה בדיקת מעבדה לגילוי המחלה: עבור אדם חולה, ההסתברות שהבדיקה תצא חיובית היא $0.9$; עבור אדם בריא, ההסתברות שהבדיקה תצא חיובית בטעות היא $0.1$. לפניכם עץ ההסתברויות המתאר את הניסוי.

מחלה מסוימת מצויה אצל $4\%$ מהאוכלוסייה. בדיקה מהירה לגילוי המחלה נותנת תוצאה חיובית אצל אדם חולה בהסתברות $0.8$, ואצל אדם בריא בהסתברות $0.1$. אדם עבר את הבדיקה פעמיים. בהינתן מצבו של האדם (חולה או בריא), תוצאות שתי הבדיקות בלתי תלויות זו בזו.

מחלה תורשתית מופיעה רק אצל אדם שיש לו שני עותקים של הגן $a$ (גנוטיפ $aa$). אדם בעל גנוטיפ $AA$ או $Aa$ בריא, ואדם בעל גנוטיפ $Aa$ נקרא נשא. כל הורה מעביר לילדו, באקראי ובהסתברות שווה, אחד משני העותקים שלו, ללא תלות בהורה השני. דן ומיכל בריאים. לכל אחד מהם יש אח חולה, והוריהם של שניהם בריאים.

בקופסה יש 25 כרטיסים, ו-5 מהם זוכים בפרס. דן מוציא באקראי שני כרטיסים בזה אחר זה, ללא החזרה.

מחלה תורשתית מופיעה רק אצל אדם שיש לו שני עותקים של הגן $a$ (גנוטיפ $aa$). אדם בעל גנוטיפ $AA$ או $Aa$ בריא, ואדם בעל גנוטיפ $Aa$ נקרא נשא. כל הורה מעביר לילדו, באקראי ובהסתברות שווה, אחד משני העותקים שלו, ללא תלות בהורה השני. יוסי ורונית שניהם נשאים ($Aa$). נולד להם בן בריא, עידו.

שכיחות מחלה באוכלוסייה היא $p$ ($0<p<1$). בדיקה למחלה נותנת תוצאה חיובית אצל $90\%$ מהחולים, ותוצאה חיובית (בטעות) אצל $5\%$ מהבריאים. כשאותו אדם נבדק כמה פעמים, תוצאות הבדיקות בלתי תלויות זו בזו בהינתן שהוא חולה, וכן בהינתן שהוא בריא.

בקופסה יש 25 כרטיסים, ו-5 מהם זוכים בפרס. דן מוציא באקראי שני כרטיסים בזה אחר זה, ללא החזרה. ההסתברות ששני הכרטיסים שדן הוציא זוכים היא $\frac{1}{30}$.

מחלה מצויה אצל $2\%$ מהאוכלוסייה. בדיקת סינון ראשונה נותנת תוצאה חיובית אצל $90\%$ מהחולים ואצל $10\%$ מהבריאים. מי שמקבל תוצאה חיובית בבדיקה הראשונה נשלח לבדיקה שנייה, מסוג אחר, שנותנת תוצאה חיובית אצל $80\%$ מהחולים ואצל $5\%$ מהבריאים. מי שמקבל תוצאה שלילית בבדיקה הראשונה אינו נבדק שוב. אדם מוכרז חולה רק אם קיבל תוצאה חיובית בשתי הבדיקות. בהינתן מצבו של האדם (חולה או בריא), תוצאות שתי הבדיקות בלתי תלויות זו בזו.

מחלה מסוימת מצויה אצל $4\%$ מהאוכלוסייה. בדיקה מהירה לגילוי המחלה נותנת תוצאה חיובית אצל אדם חולה בהסתברות $0.8$, ואצל אדם בריא בהסתברות $0.1$. אדם עבר את הבדיקה פעמיים. בהינתן מצבו של האדם (חולה או בריא), תוצאות שתי הבדיקות בלתי תלויות זו בזו. נסמן ב-$A$ את המאורע שהאדם חולה.

כדי להתקבל לתזמורת נוער יש לעבור מבחן נגינה. כל הקטעים במבחן הם מתוך מאגר שיש בו $n$ קטעי נגינה שונים, והמועמדים יכולים להתכונן למבחן באמצעותו. ביום המבחן, כל מועמד מוציא באקראי מתוך קופסה שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה. בכל פתק כתוב שם של קטע אחד מתוך המאגר; מספר הפתקים בקופסה שווה למספר הקטעים במאגר, ובכל פתק כתוב קטע אחר. לאחר שהמועמד הוציא שלושה פתקים, הוא מחזיר אותם לקופסה.

המועמד יתקבל לתזמורת אם ינגן היטב לפחות שניים מתוך שלושת הקטעים שבפתקים שהוציא.

מאיה התכוננה למבחן באמצעות המאגר. היא יודעת לנגן היטב רק 16 קטעים מתוך $n$ הקטעים שבמאגר, ואת שאר הקטעים היא אינה יודעת לנגן היטב.

ידוע כי ההסתברות שמאיה יודעת לנגן היטב לפחות קטע אחד מבין שני הקטעים שבשני הפתקים הראשונים שהיא מוציאה היא $\frac{8}{15}$.