מבחן לדוגמה: עץ הסתברויות דו-שלבי וחוק המכפלה - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

עץ הסתברויות דו-שלבי וחוק המכפלה

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הסתברות שלמה בעץ דו-שלבי: גיל והצבעהשאלה קצרה · קלה

במדינה גדולה נערך משאל עם. כל מצביע הצביע "בעד" או "נגד".
נסמן ב-ppp את ההסתברות שמצביע שנבחר באקראי הצביע "בעד". נתון כי p=34p=\frac34p=43​.

חלק מן המצביעים מבוגרים והשאר צעירים. 15% מן המבוגרים הצביעו "נגד", ו-55% מן הצעירים הצביעו "בעד".

נסמן ב-yyy את ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר. הראו כי 0.85(1−y)+0.55y=340.85(1-y)+0.55y=\frac340.85(1−y)+0.55y=43​, ומצאו את yyy.

שאלה 2 · משחק עם שלוש תוצאות: ברנולי, סידור מסוים והסתברות מותנית מודרכתשאלה מלאה · קלה

דנה משחקת דמקה נגד אחיה. בכל משחק יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד. ההסתברות שדנה תנצח במשחק גדולה פי 3 מן ההסתברות שהיא תפסיד, וההסתברות לתוצאת תיקו היא 0.2. תוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו.

א.

נסמן ב-ppp את ההסתברות שדנה תפסיד במשחק. מצאו את ppp ואת ההסתברות שדנה תנצח במשחק.

ב.

דנה שיחקה 4 משחקים בזה אחר זה.

מצאו את ההסתברות שדנה ניצחה בדיוק ב-2 משחקים.

ג.

מצאו את ההסתברות שדנה ניצחה בשני המשחקים הראשונים בלבד (ובשני המשחקים האחרים לא ניצחה).

ד.

(1)

מצאו את ההסתברות שדנה לא הפסידה באף משחק.

(2)

ידוע כי דנה הפסידה במשחק אחד לפחות. מצאו את ההסתברות שהיא ניצחה בשלושת המשחקים הראשונים. (רמז: מה צריכה להיות התוצאה של המשחק הרביעי?)

שאלה 3 · העברת כדור בין כדים: חוק המכפלה וההסתברות השלמהשאלת ביניים · בינונית

בכד א' יש 12 כדורים: 4 לבנים והשאר שחורים. בכד ב' יש bbb כדורים: 6 לבנים והשאר שחורים. מוציאים באקראי כדור מכד א'. אם יצא כדור לבן - מעבירים אותו לכד ב', ואם יצא כדור שחור - מחזירים אותו לכד א'. לאחר מכן מוציאים באקראי כדור מכד ב'.

א.

הביעו באמצעות bbb את ההסתברות שיצאו 2 כדורים לבנים. (כמה כדורים יש בכד ב', וכמה מהם לבנים, אם הכדור הראשון לבן?)

ב.

נתון: ההסתברות שיצאו 2 כדורים לבנים היא 748\frac{7}{48}487​.

מצאו את bbb.

ג.

מצאו את ההסתברות שמכד ב' יצא כדור לבן.

שאלה 4 · שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ שאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. דרך הנקודות AAA ו-EEE שעל המעגל העבירו שני משיקים, הנחתכים בנקודה KKK. אורך המשיק KAKAKA גדול פי 2 מרדיוס המעגל. הקטע KOKOKO חותך את המעגל בנקודה BBB.
OAEKB

(1)

מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AKBAKBAKB משטח המשולש AOBAOBAOB.

נתון כי שטח המשולש AOBAOBAOB הוא 10.

(2)

מצאו את אורך הגובה לצלע AKAKAK במשולש AKBAKBAKB.

ב.

קשת יורה חצים במטרה. כל חץ פוגע במרכז המטרה, פוגע בטבעת החיצונית של המטרה או מחטיא את המטרה. ההסתברות שחץ יפגע בטבעת החיצונית קבועה וגדולה פי 4 מן ההסתברות שהוא יפגע במרכז המטרה. נסמן ב-ppp את ההסתברות שחץ יפגע במרכז המטרה. הקשת יורה שני חצים, והתוצאות של חצים שונים בלתי תלויות זו בזו.

(1)

הביעו באמצעות ppp את ההסתברות שאחד החצים יפגע במרכז המטרה והחץ האחר יפגע בטבעת החיצונית.

ידוע שאם לא קרה המאורע שבסעיף ב(1), ההסתברות ששני החצים יחטיאו את המטרה היא 2592\frac{25}{92}9225​.

(2)

קבעו איזו מן האפשרויות I-III שלפניכם מתאימה לערך של ppp. נמקו את קביעתכם.
I. 67250\frac{67}{250}25067​ II. 110\frac{1}{10}101​ III. 120\frac{1}{20}201​

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=x2−9−x+5f(x)=\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x+5}f(x)=x2−9​−x+5​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

I
II
III
IV

(2)

אחד מן הגרפים I-IV מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

ד.

נתונה סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים: an=cos⁡(4nπ3)3na_n=\frac{\cos\left(\frac{4^n\pi}{3}\right)}{3^n}an​=3ncos(34nπ​)​ לכל nnn טבעי.

(1)

מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ana_nan​.

(2)

הוכיחו כי הסדרה ana_nan​ היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

(3)

מצאו את סכום הסדרה ana_nan​.

שאלה 5 · חלוקת כדורים לשתי קופסאות: מתי ההסתברות ללבן גדולה מחצישאלה קצרה · קשה

לנועה שני כדורים לבנים, שני כדורים שחורים ושתי קופסאות ריקות. היא מחלקת את ארבעת הכדורים בין שתי הקופסאות כך שבכל קופסה יש לפחות כדור אחד. לאחר מכן בוחרים באקראי אחת משתי הקופסאות (בהסתברות 12\frac1221​ לכל קופסה), ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד.

האם נועה יכולה לחלק את הכדורים כך שההסתברות שהכדור שיוצא לבן תהיה גדולה מ-12\frac1221​? אם כן, מצאו את כל החלוקות האלה ואת ההסתברות המתאימה לכל אחת מהן; אם לא, נמקו.

שאלה 6 · זריקות עונשין: הסתברות בזריקה השנייה תלויה בראשונהשאלת ביניים · קשה

בתחרות זריקות עונשין כל משתתף זורק שתי זריקות.
ההסתברות שמשתתף יקלע בזריקה הראשונה היא PPP (P>0.5P>0.5P>0.5).
אם המשתתף קלע בזריקה הראשונה, ההסתברות שיקלע בזריקה השנייה היא P+0.2P+0.2P+0.2.
אם המשתתף החטיא בזריקה הראשונה, ההסתברות שיקלע בזריקה השנייה היא P−0.3P-0.3P−0.3.
נתון כי ההסתברות שהמשתתף יקלע בדיוק באחת משתי הזריקות היא 0.240.240.24.

א.

מצאו את PPP.

ב.

משתתף שקלע בשתי הזריקות עולה לשלב הגמר.

ידוע כי משתתף קלע לפחות באחת הזריקות. מהי ההסתברות שהוא עלה לשלב הגמר?

שאלה 1 · הסתברות שלמה בעץ דו-שלבי: גיל והצבעהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · משחק עם שלוש תוצאות: ברנולי, סידור מסוים והסתברות מותנית מודרכתשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · העברת כדור בין כדים: חוק המכפלה וההסתברות השלמהשאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם cos(34nπ​)שאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · חלוקת כדורים לשתי קופסאות: מתי ההסתברות ללבן גדולה מחצישאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · זריקות עונשין: הסתברות בזריקה השנייה תלויה בראשונהשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 4 · שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ שאלה מלאה · בינונית