מבחן לדוגמה: עץ הסתברויות תלת-שלבי ורב-שלבי - כיתה י"א 5 יח"ל

בכד כדור אדום אחד וכדור לבן אחד. מוציאים באקראי כדור, מחזירים אותו לכד ומוסיפים לכד עוד כדור באותו צבע. חוזרים על הפעולה עד שהוצאו שלושה כדורים.

בחדר בריחה יש 3 חדרים שקבוצה צריכה לפתור בזה אחר זה. קבוצה שלא פותרת חדר יוצאת מן המשחק מייד, וקבוצה שפותרת את שלושת החדרים "בורחת". ההסתברות שקבוצה תפתור את החדר הראשון היא 0.9. ההסתברות שקבוצה שהגיעה לחדר השני תפתור אותו היא 0.75. ההסתברות שקבוצה שהגיעה לחדר השלישי לא תפתור אותו גדולה פי 1.5 מן ההסתברות שהיא תפתור אותו.

עץ ההסתברויות של המשחק:

במפעל כל מוצר עובר 3 בדיקות איכות בזו אחר זו. מוצר שנכשל בבדיקה נפסל ואינו ממשיך לבדיקה הבאה. ידוע ש-30% מן המוצרים עוברים את שלוש הבדיקות, 18% עוברים את שתי הבדיקות הראשונות ונכשלים בשלישית, ו-32% עוברים את הבדיקה הראשונה ונכשלים בשנייה.

בעיר גדולה כל תושב שותה קפה של אחד משני מותגים בלבד: מותג X או מותג Y.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שתושב שנבחר באקראי שותה קפה של מותג X $(0<p<1)$.

בתחרות אפייה המתמודדים עוברים שלושה שלבים זה אחר זה: שלב המיון, חצי הגמר והגמר. רק מתמודד שעובר את שלב המיון עולה לחצי הגמר, ורק מתמודד שעובר את חצי הגמר עולה לגמר. מתמודד שעובר את הגמר זוכה בפרס.

ההסתברות שמתמודד יעבור את שלב המיון היא $p$ ($0<p<1$). ההסתברות שמתמודד שעבר את שלב המיון יעבור את חצי הגמר גדולה פי 3 מן ההסתברות שמתמודד יעבור את שלב המיון. ההסתברות שמתמודד יזכה בפרס גדולה פי 4 מן ההסתברות שמתמודד יעבור את שלב המיון ואת חצי הגמר ולא יעבור את הגמר.

בקופסה א' יש 9 כדורים, מתוכם 3 לבנים והשאר שחורים. בקופסה ב' יש 10 כדורים, מתוכם $x$ לבנים והשאר שחורים. בקופסה ב' יש יותר כדורים לבנים מכדורים שחורים.

יואב מטיל קובייה הוגנת: אם יצא 1 או 2 הוא בוחר בקופסה א', ואחרת בקופסה ב'. הוא מוציא מהקופסה שבחר כדור באקראי, מחזיר אותו, ומוציא באקראי כדור שני מאותה הקופסה. נתון כי ההסתברות שיואב הוציא שני כדורים באותו צבע היא $\frac{386}{675}$.