מבחן לדוגמה: משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)-1$, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=0$. מצאו את הערך של $a$.

הציבו $a=4$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(1,3)$. כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ג מתאר את $g(x)$ בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

לאילו ערכים של $a$ יש לפונקציה שתי נקודות קיצון? הביעו באמצעות $a$ את שיעורי ה-$x$ שלהן, וקבעו את סוגן.

מצאו את $a$ שבעבורו המרחק בין שיעורי ה-$x$ של שתי נקודות הקיצון הוא 6.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה המקיימת: $g'(x)=f(x)$. גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(0,0)$. הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה $g(x)$.

$h(x)$ היא פונקציה המוגדרת כך: $h(x)=f(x)\cdot g(x)$. הפונקציות $f(x)$ ו-$h(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון. בעבור ערכים אלה הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון, וקבעו את סוגה לפי ערכי $a$.

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם נקודת הקיצון נמצאת מתחת לציר ה-$x$.

הציבו $a=2$.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.

מצאו באמצעות $a$ את האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים, את נקודות החיתוך שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

מצאו באמצעות $a$ את כל ערכי $b$ שעבורם למשוואה $g(x)=0$ יש בדיוק 6 פתרונות.

ידוע כי הנקודה $\left(3,\frac19\right)$ היא נקודת קיצון של $g(x)$.

מצאו את $a$ ואת $b$.

עבור הערכים שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה $s(x)=\int_{\sqrt3}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום $x>\sqrt3$.

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $s(x)$, ומה סוגן? נמקו.