שאלות פתוחות: משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות בוחנים איך משתנים האסימפטוטות, נקודות הקיצון ומספר נקודות החיתוך כשהפרמטר משתנה, במשפחות כמו (ax+1)/(x+a), (x-a)/(x²-4) ו-(x+a)²/(x²+1), ויש גם שאלה על משיקים לכל פונקציות המשפחה. יש מבחר גדול עם נתח משמעותי של שאלות קשות לצד קלות ובינוניות. מתאים להכנה לבגרות ולמבחן מסכם; בוחרים שאלות, מקבלים פתרון מלא ומייצאים ל-Word.

91 שאלותקלה: 34בינונית: 38קשה: 19

שאלה 1 · משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליותשאלה קצרה · קלה

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=ax+1x+af(x)=\frac{ax+1}{x+a}f(x)=x+aax+1​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

שאלה 2 · משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליותשאלה קצרה · בינונית

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=x−ax2−4f(x)=\frac{x-a}{x^2-4}f(x)=x2−4x−a​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם אין לפונקציה נקודות קיצון.

שאלה 3 · משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליותשאלה קצרה · קשה

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=x+ax−1f(x)=\frac{x+a}{x-1}f(x)=x−1x+a​, כאשר a≠−1a\ne-1a=−1 פרמטר. לכל פונקציה במשפחה מעבירים משיק לגרף בנקודה שבה x=3x=3x=3.

הראו כי כל המשיקים האלה עוברים דרך נקודה אחת משותפת, ומצאו את שיעוריה.

שאלה 4 · משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליותשאלה קצרה · קלה

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=x2−4x+ax−2f(x)=\frac{x^2-4x+a}{x-2}f(x)=x−2x2−4x+a​, כאשר aaa פרמטר.

א.

מצאו את הערך של aaa שעבורו אין לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת.

ב.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם לפונקציה יש נקודות קיצון.

שאלה 5 · משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליותשאלה קצרה · בינונית

נתונה משפחת הפונקציות f(x)=(x+a)2x2+1f(x)=\frac{(x+a)^2}{x^2+1}f(x)=x2+1(x+a)2​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות aaa.

ב.

נתון כי הישר העובר דרך שתי נקודות הקיצון של הפונקציה מאונך לישר y=−12x+3y=-\frac12x+3y=−21​x+3. מצאו את aaa.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: קיצון, התאמת גרפים ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x−a(x−2)3f(x)=\frac{x-a}{(x-2)^3}f(x)=(x−2)3x−a​, המוגדרת בתחום: x≠2x\neq2x=2, aaa הוא פרמטר.

א.

ענו על התת-סעיפים (1)-(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות aaa, אם יש צורך.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy.

ב.

הראו כי f′(x)=3a−2−2x(x−2)4f'(x)=\frac{3a-2-2x}{(x-2)^4}f′(x)=(x−2)43a−2−2x​, ומצאו עבור אילו ערכים של aaa יש לפונקציה נקודת קיצון שנמצאת משמאל לאסימפטוטה האנכית. קבעו את סוגה.

ג.

הגרפים 1-3 שלפניכם מתארים את הפונקציה f(x)f(x)f(x) בעבור ערכים שונים של aaa.
גרף 1
גרף 2
גרף 3

התאימו לכל אחד מן הערכים I-III של aaa את הגרף המתאים לו, ונמקו. I. a=0a=0a=0 II. a=2a=2a=2 III. a=4a=4a=4

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−14g(x)=f(x)-\frac14g(x)=f(x)−41​ בעבור a=2a=2a=2.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית של g(x)g(x)g(x), על ידי הישר x=4x=4x=4 ועל ידי הישר x=10x=10x=10.

שאלה 8 · שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום: −3≤x≤3-3\le x\le3−3≤x≤3 והישרים: y=−1y=-1y=−1, y=1y=1y=1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.
f(x)y=1y=−1
-4-3-2-11234-2-112

(1)

∫−31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx∫−31​f(x)dx=−∫13​f(x)dx

(2)

∫03(f(x))3dx>−∫−30f(x)dx\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx∫03​(f(x))3dx>−∫−30​f(x)dx

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB6a2−186a^2-\frac186a2−81​3a3a3a
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ2a2a2a111

	$A$	סה"כ
$B$	$6a^2-\frac18$	$3a$
$\bar B$
סה"כ	$2a$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

נתון: P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B)P(\bar A\cap\bar B)=5P(A\cap B)P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B). חשבו את aaa.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−x+53x2+3x−18f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}f(x)=3x2+3x−18ax2−x+5​. aaa הוא פרמטר חיובי. ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 10.

(1)

מהו הערך של הפרמטר aaa?

(2)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1). מהו השטח של המלבן שנוצר על ידי ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד.

במעגל שמרכזו בנקודה OOO חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים ACACAC, CECECE, EGEGEG, GBGBGB, BDBDBD, DFDFDF, FAFAFA (ראו סרטוט).
OABCDEFG

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: ∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G הוא 540∘540^\circ540∘.

שאלה 9 · המשפחה $x + \frac{k}{x}$ : שטח של $f \cdot f^{'}$ כביטוי בפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+kxf(x)=x+\frac kxf(x)=x+xk​, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו באמצעות kkk את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

בסעיפים ב-ד נתון k>1k>1k>1.

ב.

הביעו באמצעות kkk את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=kx=kx=k.

ג.

נתון שהשטח שבסעיף ב שווה ל-16. מצאו את kkk.

ד.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה h(x)=∫1xf′(t)dth(x)=\int_1^x f'(t)dth(x)=∫1x​f′(t)dt בתחום x≥1x\ge1x≥1.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם למשוואה h(x)=mh(x)=mh(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=a(x−2)2f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}f(x)=(x−2)2a​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) שפונקציית הנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)−1g'(x)=f(x)-1g′(x)=f(x)−1, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=0x=0x=0. מצאו את הערך של aaa.

ג.

הציבו a=4a=4a=4. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עובר בנקודה (1,3)(1,3)(1,3). כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ג מתאר את g(x)g(x)g(x) בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

עוד 37 שאלות על משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{bx+3}{x-2}$ , $b$ הוא פרמטר.
משפחה של פונקציות רציונליות: מיון לפי סימן הפרמטר, שטח עם שני פתרונות ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2+m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר שונה מ-0.
שאלות קצרות: סכום ריבועי האי-זוגיים, מרובעים בני חסימה, אסימפטוטות של שורש ומשפחה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}$
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $∣ f (x) ∣ = b$ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|-b$ , $b$ הוא פרמטר חיובי,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
משפחת פונקציות רציונליות: סוג הקיצון לפי הפרמטר, שטח הפוך ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+2x-a}{(x-1)^2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4-a^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: מתי קיים מלבן בעל היקף מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-(a+3)x+3a}{x^2-4x+3}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>1$ , $a\neq3$ .
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^2+1}$ , המוגדרת לכל $x$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|-b$ . $a$ ו- $b$ הם פרמטרים חיוביים.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: הקדומה, מספר פתרונות ושטח כבעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8x}{(x^2-a)^3}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g'(x)=f(x)$ , שגרפה עובר בנקודה $(0,0)$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.
משפחה רציונלית: סוג הקיצון לפי סימן הפרמטר, מספר פתרונות ושטח בשני צדי האפס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax-1}{x^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq0$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
משפחת פונקציות $\frac{k}{x ^{2} + c}$ : הוכחה כללית שהמקסימום בנקודת הפיתול, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{k}{x^2+c}$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ ו- $c$ הם פרמטרים…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{(x-a)^4}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
בעיית קיצון עם אילוץ: יחס שטחים מינימלי בפנים התחום או בקצה, ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
בתוכנית של מבנה יש שני חדרים מלבניים צמודים, חדר A וחדר B, כמתואר בסרטוט. הרוחב של חדר A הוא $t$ מטרים, והרוחב של חדר B הוא 3 מטרים. שטח חדר…
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+3}{(x-a)^2}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה שנגזרתה $f (x) + m$ : מספר נקודות הקיצון לפי הפרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+m$ , כאשר $m$ הוא פרמטר. תחום…
בעיית קיצון: יחס שטחים של שתי גינות צמודות, כשאורך הגינה השנייה הוא $\frac{t + 4}{2}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B. הרוחב של גינה A הוא $t$ מטרים. הרוחב של גינה B הוא 4 מטרים ושטחה הוא: $2t+8$ מ"ר,…
משפחת פונקציות רציונליות מתוך הנגזרת: מיון לפי סימן הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x}{(x^2+k)^4}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $k$ הוא פרמטר שונה מאפס. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x-2}$ , כאשר $a$ פרמטר.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $f (x) = m$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
משפחת הפונקציות $\frac{3 ( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ : מספר הפתרונות של $f (x) = 4$ ושטח כפונקציה של $a$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3(x+2)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $g(x)$ , המוגדרת לכל $x\neq\pm1$ , פונקציית הנגזרת היא $g'(x)=\frac{a}{x^2-1}+2$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-a)^2}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: משיק דרך נקודה קבועה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2(x+2a)}{x^3-ax^2}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4x}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ , $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
מספר הפתרונות של $f (x) = 4$ לפי ערך הפרמטר (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax-1}{x^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq0$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. נתון: האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים הן…
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
קיצון שסוגו תלוי בפרמטר ומספר פתרונות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+2x-a}{(x-1)^2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
משפחות פרמטריות של פונקציות רציונליות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+a}{(x+1)^2}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3+1$ .
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=0$ ו- $x=2$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=\frac13$ .
אסימפטוטות וקיצון לפי סימן הפרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2+m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר שונה מ-0.
מיקום הקיצון לפי הפרמטר והתאמת גרפים (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-a}{(x-2)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq2$ , $a$ הוא פרמטר. לכל ערך של $a$ , האסימפטוטה האנכית של $f(x)$ היא $x=2$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
שאלות קצרות: אינדוקציה, גבהים במשולש, אסימפטוטות של פונקציית שורש והתאמת גרף · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2a-x^2}{x}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-1}{(x-a)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
בעיית קיצון: יחס שטחים של שתי גינות צמודות עם פרמטר · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 8
נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B. הרוחב של גינה A הוא $t$ מטרים. הרוחב של גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא: $2t+2$ מ"ר, כמתואר בסרטוט…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח מתחת ל- $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6(x-1)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=3$ ו- $x=0$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (31)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שתי פונקציות רציונליות עם פרמטר: קטע מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ , $g(x)=\frac{mx}{x^2+4}$ , כאשר $m>0$ הוא פרמטר. הגרפים נחתכים בנקודה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2}{(x+2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax^2-1}{x^2-1}$ , $a$ הוא פרמטר, $a>0$ , $a\neq1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}$ , $b\neq8$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטחים שווים מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}-1$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות וקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-4x^2}{9-x^2}$ , כאשר $a$ פרמטר, $a>36$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי יש קיצון? (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x}{x^2-a}$ . $a\ne0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק אופקי ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק ונגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}+k$ , כאשר $k$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x+4}{8x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>1$ .
שטח מינימלי עם פרמטר: גובה קבוע של המשולש האופטימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3x+a}{x-2}$ , $a>-6$ הוא פרמטר. הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, מימין לאסימפטוטה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-4}+a$ , ו- $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מלבן בהיקף מינימלי ומספר מלבנים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-k}$ , ו- $k>2$ הוא פרמטר. $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ .…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע שהישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
גרף הנגזרת: פרמטרים, מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)=\frac{ax^2}{x^2-9}+2$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ ( $a$ פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית…
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=2x+\frac{8}{x}+c$ , $c$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה משיק לציר ה- $x$ .
מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות: פרמטר ושטח קבוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף…
בעיית קיצון עם פרמטר: מתי היחס בין השטחים מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה המחולקת לשני מתחמים, $ABCD$ ו- $BFGH$ , שכל אחד מהם בצורת מלבן. נסמן ב- $x$ את אורך…
בעיית קיצון עם פרמטר: מהשטח המינימלי לאורך (שאלה מלאה · קלה)
מתחם מורכב משלושה חלקים: מלבן $ABCD$ , מלבן $BEFC$ וריבוע $EGHK$ . הנקודות $A, B, E, G$ על ישר אחד, כמתואר…
בעיית קיצון עם פרמטר: מיקום האנך וערכי השטח (שאלה מלאה · קלה)
נתון גרף הפונקציה $f(x)=3-\frac6x$ בתחום $x>0$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ . מן הנקודה $B(b,0)$ , $b>2$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיקה לציר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x}+ax$ , $a>0$ הוא פרמטר.
משיק ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+3$ בתחום $x>0$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה $x=2$ …
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}+1$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
היפרבולה עם פרמטר: הקטע האנכי הקצר ביותר ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ , $x\neq4$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ומשיקים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות הקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+a}{x}$ , $a>0$ הוא פרמטר. $g(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x\neq0$ , ונגזרתה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי |f| נוגעת בציר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+c$ , המוגדרת לכל $x$ . $c$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה…