מבחן לדוגמה: משיק לפונקציה רציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי לכל ערך של $a$, המשיק לגרף $f(x)$ בראשית הצירים והמשיק לגרף $f(x)$ בנקודת הקיצון נחתכים בנקודה ששיעור ה-$x$ שלה הוא 1.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=3$.

לגרף הפונקציה יש משיק נוסף שמקביל למשיק שמצאתם בסעיף א. מצאו את משוואתו.

האם יש ערך של $c$ שעבורו הישר $y=2x+c$ משיק לגרף הפונקציה? אם כן - מצאו אותו, אם לא - נמקו.

מצאו את כל ערכי $c$ שעבורם הישר $y=2x+c$ אינו חותך את גרף הפונקציה.

נתון כי הגרף מתאים לפונקציה:

היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את הערכים של הפרמטרים $a$ ו-$b$. פרטו את שיקוליכם.

הציבו את הערכים של $a$ ו-$b$ שמצאתם בסעיף א, ומצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית.

נתונה הפונקציה $g(x)$: $g(x)=f(x-k)+k$, $k>0$.

האם ייתכן ששתי האסימפטוטות של הפונקציה $g(x)$ נחתכות בנקודה $\left(6,\frac{19}{3}\right)$? אם כן - מהו הערך של $k$? אם לא - נמקו.

מצאו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $f(x)$, את האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים ואת שיעורי הנקודה הריקה בגרף שלה.

הוכיחו כי המשיק לגרף $f(x)$ בנקודת החיתוך שלו עם האסימפטוטה האופקית עובר דרך נקודה קבועה שאינה תלויה ב-$a$, ומצאו אותה.

הביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$.

מצאו את $t$ שעבורו אורך הקטע $AB$ מינימלי, ואת האורך המינימלי.

מגבילים את נקודת ההשקה לתחום $1\le t\le a$, כאשר $a>1$. מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם האורך המקסימלי של $AB$ בתחום מתקבל ב-$t=1$.